Μονοτονία-αντίστροφη δικλαδικής

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

PanosG
Δημοσιεύσεις: 458
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 10, 2009 2:47 pm
Τοποθεσία: Άρτα

Μονοτονία-αντίστροφη δικλαδικής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από PanosG » Δευ Δεκ 12, 2011 1:46 am

Δίνεται η συνάρτηση:
f(x)=\left\{\begin{matrix} 
 x^2-2x+3& ,x\in(-\infty ,1] & \\  
3-x & ,x\in (1,+\infty) &  
\end{matrix}\right.
α) Αποδείξτε ότι η f είναι συνεχής στο \mathbb{R}
β)Αποδείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη για κάθε x\neq 1
γ)Μελετήστε την f ως προς την μονοτονία στο πεδίο ορισμού της.
δ) Αποδείξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε την αντίστροφη της.
ε) Βρείτε τα κοινά σημεία της f και της f^{-1}

Έως 17/12


Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης
PanosG
Δημοσιεύσεις: 458
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 10, 2009 2:47 pm
Τοποθεσία: Άρτα

Re: Μονοτονία-αντίστροφη δικλαδικής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από PanosG » Σάβ Δεκ 17, 2011 7:11 pm

Επαναφορά για όποιον θέλει. Νομίζω οτι η άσκηση έχει πολύ ζουμί.


Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης
Ηλίας Θ.
Δημοσιεύσεις: 101
Εγγραφή: Τετ Μάιος 19, 2010 9:23 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μονοτονία-αντίστροφη δικλαδικής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ηλίας Θ. » Σάβ Δεκ 17, 2011 9:20 pm

PanosG έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση:
f(x)=\left\{\begin{matrix} 
 x^2-2x+3& ,x\in(-\infty ,1] & \\  
3-x & ,x\in (1,+\infty) &  
\end{matrix}\right.
α) Αποδείξτε ότι η f είναι συνεχής στο \mathbb{R}
β)Αποδείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη για κάθε x\neq 1
γ)Μελετήστε την f ως προς την μονοτονία στο πεδίο ορισμού της.
δ) Αποδείξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε την αντίστροφη της.
ε) Βρείτε τα κοινά σημεία της f και της f^{-1}

Έως 17/12
Καλησπέρα
α) Είναι \lim_{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=2 άρα συνεχής στο x=1.
Επίσης συνεχής στο \left(1, +\infty \right) ως πολυωνυμική και ομοίως στο \left(-\infty, 1 \right)

β) Είναι παρ/μη για x<1 ως πολυωνυμική με f\acute{ }(x)=2x-2.
Επίσης ως πολυωνυμική παρ/μη για κάθε x>1 με f\acute{ }(x)=-1.
Όμως \lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{x^{2}-2x+3-2}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1^{-}}\frac{(x-1)^2}{x-1}=0 και \lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{3-x-2}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{1-x}{x-1}=-1.

Άρα η f παραγωγίζεται για κάθε x\neq 1

γ) Η f είναι συνεχής στο R.
Επίσης για x<1 ισχύει f\acute{ }(x)=2x-2=2(x-1)<0 άρα f γνησίως φθίνουσα στο \left(-\infty, 1\right].
Για x>1 ισχύει f\acute{ }(x)=-1<0, άρα γνησίως φθίνουσα στο \left[1, +\infty \right).
Επειδή τώρα είναι συνεχής στο x=1 η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R.

δ) Αφού είναι γνησίως μονότονη είναι και 1-1. Άρα η f αντιστρέφεται.

Για x\leq 1 έχω: y=x^{2}-2x+3\Leftrightarrow x^{2}-2x+(3-y)=0. Η εξίσωση πρέπει να έχει λύση ως προς x αφού η f είναι αντιστρέψιμη. Έτσι πρέπει \Delta \geq 0\Leftrightarrow 4-4(3-y)\geq 0\Leftrightarrow y\geq 2. Τότε x=\frac{2\pm \sqrt{4y-8}}{2}=1\pm\sqrt{y-2}. Όμως x\leq 1 άρα f^{-1}(x)=1-\sqrt{x-2},\: x\geq 2

Για x>1 έχω: y=3-x\Leftrightarrow x=3-y με y<2. Άρα f^{-1}(x)=3-x,\: x<2. Δηλαδή:

f(x)=\left\{\begin{matrix} 
 3-x & ,x\in(-\infty ,2) & \\  
1-\sqrt{x-2} & ,x\in [2,+\infty) &  
\end{matrix}\right

ε) Τα κοινά σημεία των C_{f} και C_{f^{-1}} είναι οι λύσεις ( αν υπάρχουν ) της εξίσωσης f(x)=f^{-1}(x). Έτσι για:
i) x\leq 1: Τα κοινά σημεία είναι λύσεις της εξίσωσης x^{2}-2x+3=3-x\Leftrightarrow x^{2}-x=0\Leftrightarrow x=0\;  \acute{\eta } \; x=1 Άρα τα κοινά σημεία είναι τα A\left(0,3 \right) και B\left(1,2 \right)
ii) 1<x\leq 2 θα έχω αντίστοιχα: 3-x=3-x άρα κοινά σημεία είναι όλα εκείνα του διαστήματος \left(1,\: 2\right], αφού οι γραφικές παραστάσεις συμπίπτουν,
iii) x>2: 3-x=1-\sqrt{x-2}\Leftrightarrow \sqrt{x-2}=x-2\Leftrightarrow \sqrt{x-2}(1-\sqrt{x-2})=0\Leftrightarrow x=3


PanosG
Δημοσιεύσεις: 458
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 10, 2009 2:47 pm
Τοποθεσία: Άρτα

Re: Μονοτονία-αντίστροφη δικλαδικής

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από PanosG » Τετ Δεκ 21, 2011 1:26 pm

Σωστά. Ορίστε και οι γραφικές παραστάσεις
Συνημμένα
11.png
11.png (25.46 KiB) Προβλήθηκε 349 φορές


Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης