Διαγώνισμα

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Διαγώνισμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Σάβ Δεκ 17, 2011 10:06 pm

Ύλη: Μιγαδικοί-Συναρτήσεις-Όρια-Συνέχεια

Διάρκεια: 3 ώρες

Θέμα 1

Α) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [a,b], f(a)<f(b) και k \in (f(a),f(b)), να αποδείξετε ότι υπάρχει x_0 \in (a,b)

ώστε f(x_0)=k (Μονάδες 10)

Β) Να χαρακτηρίσετε ως σωστή ή λάθος κάθε μία από τις πιο κάτω προτάσεις:

1. \displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac {\eta \mu x}{x}=0}

2. \displaystyle{\lim_{x \to 1}\frac {\eta \mu x}{x}=1}

3. Υπάρχει συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το \mathbb{R} και σύνολο τιμών το \{0,1\}

4. Για να έχει νόημα το \displaystyle{\lim_{x \to x_0}f(x)}, πρέπει απαραίτητα το x_0 να ανήκει στο πεδίο ορισμού της f

5. Αν για τη συνάρτηση f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}, αληθεύει η σχέση f(xy)>f(x), για κάθε x>0 και για κάθε y>1, τότε η

συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+\infty) (Μονάδες 3 \times 5=15)


Θέμα 2

Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση xe^x=1 έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα (0,1) (Μονάδες 5)

Β) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό a, ώστε η συνάρτηση

\displaystyle{f(x)=\begin{cases} 
         \frac {\eta\mu x}{x} & x \neq 0 \\ 
a & x=0 
\end{cases}} να είναι συνεχής στο 0. (Μονάδες 10)

Γ) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς \alpha, \beta, \gamma, ώστε η συνάρτηση

\displaystyle{f(x)=\begin{cases} 
\frac {\sqrt{x+9}-3}{x}+\alpha &x>0\\ 
\beta &x=0\\ 
\frac {\eta\mu x+\gamma}{x} &x<0 
\end{cases}},

να είναι συνεχής στο 0. (Μονάδες 10)


Θέμα 3

Α) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z για τους οποίους αληθεύει η σχέση

\left|z+3i\right|+\left|\overline{z}+3i\right|=8 (Μονάδες 12)

Β) A είναι το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης \left|z+1\right|=\left|z+2i\right| και

B είναι το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης \left|z-2\right|=\left|z-4i\right|

Αν ο αριθμός a παίρνει τιμές από το σύνολο A και ο αριθμός b παίρνει τιμές από το σύνολο B,

τότε πιο είναι το ελάχιστο του \left|a-b\right|

Θέμα 4

Α) Η συνάρτηση f ορίζεται στο (0,+\infty), είναι συνεχής, γνησίως φθίνουσα και έχει σύνολο τιμών το (0,+\infty).

Να βρείτε

1. Τη μονοτονία της συνάρτησης \displaystyle{g(x)=f\left(\frac {1}{x}\right), x >0} (Μονάδες 5)

2. Το \displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac {f^2\left(\frac {1}{x}\right)+2}{2f^2\left(\frac {1}{x}\right)+f\left(\frac {1}{x}\right)+5}} (Μονάδες 5)

3. Το \displaystyle{\lim_{x \to 0^+} \frac {\sqrt{f\left(\frac {1}{x}\right)+9}-3}{\sqrt{f\left(\frac {1}{x}\right)+4}-2}} (Μονάδες 5)

Β) Η συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} είναι 1-1.

Αν για κάθε x>0 αληθεύει η σχέση \displaystyle{\left(x^4+1\right)\left(f\left(\frac {2x}{x+1}\right)-f\left(\frac {3x}{x+1}\right)\right)\right)=x},

να αποδείξετε ότι είναι ασυνεχής. (Μονάδες 10)

* Την ιδέα για το 4α θέμα την πήρα από ένα διαγώνισμα του Νίκου Ζανταρίδη

Μέχρι 27/12


Σπύρος Καπελλίδης
Νασιούλας Αντώνης
Δημοσιεύσεις: 623
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 21, 2010 10:12 pm
Τοποθεσία: Αθήνα-Βόλος
Επικοινωνία:

Re: Διαγώνισμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νασιούλας Αντώνης » Τετ Δεκ 21, 2011 12:32 am

s.kap έγραψε: Θέμα 4

Β) Η συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} είναι 1-1.

Αν για κάθε x>0 αληθεύει η σχέση \displaystyle{\left(x^4+1\right)\left(f\left(\frac {2x}{x+1}\right)-f\left(\frac {3x}{x+1}\right)\right)\right)=x},

να αποδείξετε ότι είναι ασυνεχής. (Μονάδες 10)

* Την ιδέα για το 4α θέμα την πήρα από ένα διαγώνισμα του Νίκου Ζανταρίδη

Μέχρι 27/12
Δίνω το τελευταίο που μου άρεσε ιδιαίτερα.
Γενικώς πολύ ωραία θέματα για σχολικό (?) διαγώνισμα. Ξεχώρισα επίσης το 5) από τα Σ-Λ.

Στα παρακάτω αναφέρομαι για x>0.
Έστω ότι η f είναι συνεχής.

Ισχύει:\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f\left(\frac {2x}{x+1}\right) =\lim_{u\rightarrow 2}f(u)=f(2)} , αφού η f συνεχής.

Επίσης, :\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}f \left(\frac {3x}{x+1}\right)\right) =\lim_{u\rightarrow 3}f(u)=f(3)} , αφού η f συνεχής.

Ακόμα, \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x}{x^4+1}=0}.

Χρησιμοποιώντας τη δοθείσα, προκύπτει άμεσα ότι f(2)=f(3), άτοπο αφού η f είναι "1-1".
Άρα η f είναι ασυνεχής.


"Το να έχεις συνείδηση της άγνοιάς σου, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη γνώση" , Benjamin Disraeli
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης