Σύνθεση και μονοτονία

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Καλησπέρα.
Μια άσκηση για πολύ καλούς μαθητές, μιας και σε μια εβδομάδα τελειώνει η καλοκαιρινή προετοιμασία τους.
Προβληματισθείτε και αφενός μη τρομάζετε και αφετέρου μάθετε να σκέφτεστε με αρνήσεις.

Η άσκηση
Η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα στο R και για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ ισχύει $\displaystyle{(f \circ f \circ f \circ f \circ f)(x) = x}$ . Να δειχθεί ότι $\displaystyle{f(x) = x}$ για κάθε $\displaystyle{x \in R}$ .
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

για να δοκιμάσω το κολπάκι

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #3

joulia1961 έγραψε:για να δοκιμάσω το κολπάκι
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Θωμά ωραία !
γιατί δε τη δίνεις μόνο για μαθητές;

Φωτεινή είχες δίκιο και τη μετακίνησα. Ευχαριστώ.
Χαιρετίσματα και πολλά φιλιά στον Αντώνη.
Θωμάς

#4

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς έγραψε:
Χαιρετίσματα και πολλά φιλιά στον Αντώνη.
Θωμάς

ΟΚ Θωμά
θα του τα πω στο επόμενο καφεδάκι που θα πιούμε

Dreamkiller · #5

Θα κάνω μια προσπάθεια γνωρίζοντας όμως μόνο τα βασικά από την ανάλυση. Λοιπόν:

Στη δοθείσα θέτουμε όπου

το

και παίρνουμε:
$(f \circ f \circ f \circ f \circ f)(f(x)) = f(x)$ (1)

Επίσης από τη δοθείσα έχουμε:
$f((f \circ f \circ f \circ f\circ f)(x)) = f(x)$ (2)

Από τις (1), (2) λοιπόν έχουμε:
$(f \circ f \circ f \circ f \circ f)(f(x)) = f((f \circ f \circ f \circ f\circ f)(x)) \Leftrightarrow f((f \circ f \circ f \circ f)(f(x)) = f((f \circ f \circ f \circ f\circ f)(x))$ (3)

Η

όμως είναι γνησίως αύξουσα άρα 1-1 άρα η (3) δίνει:
$(f \circ f \circ f \circ f)(f(x)) = (f \circ f \circ f \circ f\circ f)(x)$
Κάνοντας το ίδιο πράγμα 4 ή 5 φορές προκύπτει το ζητούμενο.

Ελπίζω να είναι σωστό.

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #6

Dreamkiller έγραψε:Θα κάνω μια προσπάθεια γνωρίζοντας όμως μόνο τα βασικά από την ανάλυση. Λοιπόν:

Στη δοθείσα θέτουμε όπου το και παίρνουμε:
$(f \circ f \circ f \circ f \circ f)(f(x)) = f(x)$ (1)

Επίσης από τη δοθείσα έχουμε:
$f((f \circ f \circ f \circ f\circ f)(x)) = f(x)$ (2)

Από τις (1), (2) λοιπόν έχουμε:
$(f \circ f \circ f \circ f \circ f)(f(x)) = f((f \circ f \circ f \circ f\circ f)(x)) \Leftrightarrow f((f \circ f \circ f \circ f)(f(x)) = f((f \circ f \circ f \circ f\circ f)(x))$ (3)

Η όμως είναι γνησίως αύξουσα άρα 1-1 άρα η (3) δίνει:
$(f \circ f \circ f \circ f)(f(x)) = (f \circ f \circ f \circ f\circ f)(x)$
Κάνοντας το ίδιο πράγμα 4 ή 5 φορές προκύπτει το ζητούμενο.

Ελπίζω να είναι σωστό.

Αγαπητέ dreamkiller, η σκέψη σου οδηγεί στο f(x)=f(x), οπότε φθάνουμε σε αδιέξοδο.
Κύτα λίγο την παραίνεσή μου και σκέψου με άρνηση αυτό που σου ζητάνε.
Συγχαρητήρια που το ψάχνεις
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Dreamkiller · #7

Νομίζω ότι κατάλαβα τι εννοείτε κύριε Θωμά. Λοιπόν:
Έστω ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον πραγματικός x έτσι ώστε $(f \circ f \circ f \circ f \circ f)(x) \not = x$ .
Κάνοντας τώρα το ίδιο με πριν καταλήγουμε στο $f(x) \not = f(x)$ που είναι άτοπο.

Για ποιον λόγο όμως εδώ η ευθεία απόδειξη δε δουλεύει; Λόγω ταυτολογίας;

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #8

Dreamkiller έγραψε:Νομίζω ότι κατάλαβα τι εννοείτε κύριε Θωμά. Λοιπόν:
Έστω ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον πραγματικός x έτσι ώστε $(f \circ f \circ f \circ f \circ f)(x) \not = x$ .
Κάνοντας τώρα το ίδιο με πριν καταλήγουμε στο $f(x) \not = f(x)$ που είναι άτοπο.

Για ποιον λόγο όμως εδώ η ευθεία απόδειξη δε δουλεύει; Λόγω ταυτολογίας;

Αγαπητέ dreamkiller θα προσπαθήσω να σε βοηθήσω λίγο γιατί πρώτη φορά αντιμετωπίζεις τέτοιου είδους άσκηση.
Πρέπει να σκεφθείς την άρνηση του συμπεράσματος και όχι βέβαια την άρνηση της υπόθεσης.
Η άρνηση λοιπόν είναι:
Έστω ότι υπάρχει κάποιο x τέτοιο ώστε να ισχύει $\displaystyle{\displaystyle f(x) \ne x}$ , οπότε θα έχουμε:
ή f(x)>x ή f(x)<x.
Προχώρα τώρα συνθετικά βήμα βήμα με τη μονοτονία σε κάθε περίπτωση για να καταλήξεις σε άτοπο.
Σκέψου τη λύση και μου γράφεις.
Να ξέρεις ότι με χαρά μου θα απαντήσω σε κάθε απορία σου.
Να είσαι καλά, και καλή σου επιτυχία.
Πες μου σε παρακαλώ αν βρίσκεις ενδιαφέρον στις ασκήσεις αυτές που βάζουμε στο mathematica και τι θα ήθελες άλλο να βάζουμε.
Αν θέλεις πες μου το μικρό σου όνομα, το προτιμώ από το nickname σου.
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης

Dreamkiller · #9

Έχετε δίκιο

Λέγομαι Στέλιος και θα πάω τώρα Β' Λυκείου. Το forum έχει πολλές καλές ασκήσεις και θα ήταν ωραία άμα είχε περισσότερες από την θεωρία αριθμών και τα διακριτά μαθηματικά.
Λοιπόν, άλλη μια προσπάθεια:
Έστω ότι f(x)>x

. Τότε, επειδή η

είναι γνησίως αύξουσα, θα είναι και f(f(x))> f(x)>x

. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο άλλες 3 φορές παίρνουμε ότι x>x

που είναι άτοπο.
Ομοίως δουλεύουμε και αν f(x)<x

.
Ευχαριστώ για τη βοήθεια πάντως.

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #10

Dreamkiller έγραψε:Έχετε δίκιο
Λέγομαι Στέλιος και θα πάω τώρα Β' Λυκείου. Το forum έχει πολλές καλές ασκήσεις και θα ήταν ωραία άμα είχε περισσότερες από την θεωρία αριθμών και τα διακριτά μαθηματικά.
Λοιπόν, άλλη μια προσπάθεια:
Έστω ότι . Τότε, επειδή η είναι γνησίως αύξουσα, θα είναι και . Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο άλλες 3 φορές παίρνουμε ότι που είναι άτοπο.
Ομοίως δουλεύουμε και αν .
Ευχαριστώ για τη βοήθεια πάντως.

Οκ Στέλιος, σωστή η απόδειξη.
Να είσαι καλά και πάντα ορεξάτος για γνώση.
Θα βάλω κάποια θέματα από τη θεωρία αριθμών και γενικότερα από την ύλη της Β! Λυκείου
Θ.Ρ

pastavr · #11

Άραγε θα μπορούσαμε να αποδείξουμε ότι αν $\displaystyle{f(f(x)) = x}$ και η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως φθίνουσα , τότε $\displaystyle{f(x) = - x}$ ;

parmenides51 · #12

pastavr έγραψε:Άραγε θα μπορούσαμε να αποδείξουμε ότι αν $\displaystyle{f(f(x)) = x}$ και η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως φθίνουσα , τότε $\displaystyle{f(x) = - x}$ ;

αποδείχθηκε εδώ στο ερώτημα B

pastavr · #13

Ευχαριστώ για την γρήγορη απάντηση , μόνο που στη συγκεκριμένη άσκηση έχουμε χρησιμοποιήσει από κάποιο άλλο ερώτημα ότι η $\displaystyle{f}$ είναι περιττή .
Αυτό στο δική μου άσκηση πως αποδεικνύεται ;

parmenides51 · #14

pastavr έγραψε:Ευχαριστώ για την γρήγορη απάντηση , μόνο που στη συγκεκριμένη άσκηση έχουμε χρησιμοποιήσει από κάποιο άλλο ερώτημα ότι η $\displaystyle{f}$ είναι περιττή .
Αυτό στο δική μου άσκηση πως αποδεικνύεται ;

έχεις δίκιο

, βιάστηκα, χρησιμοποιεί πως είναι περιττή στην λύση της παραπομπής (και στις λύσεις των συνημμένων)

Σύνθεση και μονοτονία

Σύνθεση και μονοτονία

Re: Σύνθεση και μονοτονία

Re: Σύνθεση και μονοτονία

Re: Σύνθεση και μονοτονία

Re: Σύνθεση και μονοτονία

Re: Σύνθεση και μονοτονία

Re: Σύνθεση και μονοτονία

Re: Σύνθεση και μονοτονία

Re: Σύνθεση και μονοτονία

Re: Σύνθεση και μονοτονία

Re: Σύνθεση και μονοτονία

Re: Σύνθεση και μονοτονία

Re: Σύνθεση και μονοτονία

Re: Σύνθεση και μονοτονία

Μέλη σε σύνδεση