Εξαφανείστε ότι σας εμποδίζει

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Εξαφανείστε ότι σας εμποδίζει

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Κυρ Ιούλ 19, 2009 12:36 am

Άλλη μια άσκηση για πολύ καλούς μαθητές τώρα που τελειώνει η καλοκαιρινή τους προετοιμασία.

Ότι μας εμποδίζει καλόν είναι να το εξαφανίζουμε, αλλάζοντας ή μετασχηματίζοντας τα δεδομένα μας.

Η άσκηση

Να λυθεί η εξίσωση

\displaystyle{{6^x} + {8^x} = {10^x}}

Καλό καλοκαίρι
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης
Μέχρι τέλος Αυγούστου, Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ! λυκείου, Συναρτήσεις


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: Εξαφανείστε ότι σας εμποδίζει

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Κυρ Ιούλ 19, 2009 12:49 am

Θωμά νάξερες τι μου θύμησες;
αυτή την άσκηση την αντιμετώπισα για πρώτη φορά όταν έδινα εισαγωγικές στο Πανεπιστήμιο πριν από πολλά χρόνια και για την ιστορία... δεν την είχα λύσει!


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Εξαφανείστε ότι σας εμποδίζει

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Κυρ Ιούλ 19, 2009 12:52 am

spyrosk έγραψε:Θωμά νάξερες τι μου θύμησες;
αυτή την άσκηση την αντιμετώπισα για πρώτη φορά όταν έδινα εισαγωγικές στο Πανεπιστήμιο πριν από πολλά χρόνια και για την ιστορία... δεν την είχα λύσει!
Σπύρο με τρεις όρους ή με τέσσερις ήταν;


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: Εξαφανείστε ότι σας εμποδίζει

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Κυρ Ιούλ 19, 2009 1:20 am

με τρεις πιο συγκεκριμένα να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3^x  + 4^x  = 5^x
έχει μοναδική ρίζα την x = 2


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
Stavroulitsa
Δημοσιεύσεις: 455
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 14, 2009 1:44 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη (Πολίχνη)

Re: Εξαφανείστε ότι σας εμποδίζει

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Stavroulitsa » Παρ Σεπ 04, 2009 9:46 pm

έκανα την παρατήρηση ότι οι αριθμοί 6,8,10 και 3,4,5 αποτελεούν πυθαγόριες τριάδες άρα χ=2. Αλλά θα πω και τη χαζομαρα μου τώρα και θα πω πως γνωρίζοντας το τελευταίο θεώρημα του Fermat δεν υπάρχουν θετικές ακέραιες τιμές για το χ μεγαλύτερες με το 2. (για μη θετικές ακέραιες τιμές δεν ξέρω τι γίνεται, αλλα ήθελα να χρησιμοποιήσω το θεωρημα του Fermat αλλιώς θα έσκαζα :D και ελπίζω πως θα είναι ευκαιρία να φανεί και μια απάντηση...)


"Millions long for immortality who do not know what to do with themselves on a rainy Sunday afternoon"
Susan Ertz
Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Εξαφανείστε ότι σας εμποδίζει

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Παρ Σεπ 04, 2009 10:40 pm

Σταυρουλίτσα καλησπέρα.
Η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την \displaystyle{{6^x} + {8^x} - {10^x} = 0} και έχει προφανή ρίζα την x=2,
οπότε αρκεί να δείξουμε ότι δεν έχει άλλη,
και γι αυτό αρκεί να δείξουμε ότι η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = {6^x} + {8^x} - {10^x}} είναι γνήσια μονότονη (οπότε θα είναι και 1-1).
Όμως ενώ οι συναρτήσεις \displaystyle{y = {6^x}} και \displaystyle{y = {8^x}} είναι γνήσιες αύξουσες, η συνάρτηση \displaystyle{y =  - {10^x}}
είναι γνήσια φθίνουσα και δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για τη μονοτονία της f.
Σκεφτόμαστε λοιπόν να φτιάξουμε μια ισοδύναμη εξίσωση με την αρχική, την \displaystyle{{\left( {\frac{6}{{10}}} \right)^x} + {\left( {\frac{8}{{10}}} \right)^x} - 1 = 0}
που έχει βέβαια προφανή ρίζα το x=2 και θα δείξουμε ότι δεν έχει άλλη και γι αυτό αρκεί να δείξουμε ότι η συνάρτηση \displaystyle{g(x) = {\left( {\frac{6}{{10}}} \right)^x} + {\left( {\frac{8}{{10}}} \right)^x} - 1} είναι γνήσια μονότονη, άρα 1-1.
Αυτό συμβαίνει γιατί οι συναρτήσεις \displaystyle{y = {\left( {\frac{6}{{10}}} \right)^x}} και \displaystyle{y = {\left( {\frac{8}{{10}}} \right)^x}} είναι γνήσια φθίνουσες οπότε και η g είναι γνήσια φθίνουσα, οπότε η ρίζα x=2 είναι μοναδική.
Στο τεχνικό μέρος εξαφανίσαμε τη συνάρτηση \displaystyle{y =  - {10^x}} που μας χάλαγε τη μονοτονία διαιρώντας με το \displaystyle{{10^x}}.
Σχόλιο: Γενικά διαιρούμε κατά περίπτωση είτε με με τη δύναμη με το μεγαλύτερο εκθέτη (οπότε δημιουργούμε συνάρτηση γνήσια φθίνουσα) είτε με τη δύναμη με το μικρότερο εκθέτη οπότε δημιουργούμε συνάρτηση γνήσια αύξουσα).
Να είσαι καλά, καλή χρονιά και καλύτερη πρόοδο.
Πες μου αν τα κατάλαβες.
Θωμάς
Έγινε διόρθωση με υπόδειξη του μέλους fmak65 και τον ευχαριστώ.


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
fmak65
Δημοσιεύσεις: 655
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 6:59 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη

Re: Εξαφανείστε ότι σας εμποδίζει

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από fmak65 » Παρ Σεπ 04, 2009 11:11 pm

Στην συγκεκριμενη αν διαιρεσουμε με 6^χ τοτε υπαρχει προβλημα γιατι η (8/6)^χ αυξουσα ενω η -(10/6)^χ φθινουσα οποτε τι συμπερασμα βγαζουμε?


Μαραντιδης Φωτης
Άβαταρ μέλους
Ραϊκόφτσαλης Θωμάς
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:01 am
Τοποθεσία: Άλιμος, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Εξαφανείστε ότι σας εμποδίζει

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ραϊκόφτσαλης Θωμάς » Παρ Σεπ 04, 2009 11:15 pm

Σωστό σκεφτόμουνα γενικά το θέμα και τη πάτησα.
Ευχαριστώ


Η γνώση μας κάνει περήφανους, η σοφία ταπεινούς.
χρηστοσ17
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 23, 2009 5:46 pm

Re: Εξαφανείστε ότι σας εμποδίζει

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από χρηστοσ17 » Σάβ Νοέμ 07, 2009 3:48 pm

αυτη την ασκηση ,πρωσοπικα, την ειδα με ορια και με αλλα ερωτηματα,και μου ειχε φανει λιγο δυσκολη!


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης