Αντίστροφη (Γ' ΛΥΚ -ΚΑΤΕΥΘ)

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10960
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Αντίστροφη (Γ' ΛΥΚ -ΚΑΤΕΥΘ)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Δεκ 23, 2011 9:01 pm

Βρείτε ( εφόσον υπάρχει ) , την αντίστροφη της συνάρτησης : \displaystyle f(x)=\frac{1}{3}ln\left(x+\sqrt{x^2+1} \right)

Μέχρι 26/12


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1715
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Αντίστροφη (Γ' ΛΥΚ -ΚΑΤΕΥΘ)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Σάβ Δεκ 31, 2011 1:35 am

Καλό βράδυ και χρόνια πολλά ..εύχομαι καλή χρονιά σε όλους γεμάτη δύναμη
Για την άσκηση τώρα, μιας και πέρασε και ο καιρός της.
Κατ' αρχήν δύο παρατηρήσεις :
1) \displaystyle{ 
\sqrt {x^2  + 1}  > \sqrt {x^2 }  \ge |x| \ge  - x \Rightarrow \sqrt {x^2  + 1}  + x > 0 
} για όλα τα \displaystyle{ 
x \in R 
}
άρα εξασφαλίσαμε το πεδίο ορισμού της.
2) \displaystyle{ 
f( - x) = \frac{1}{3}\ln (\sqrt {( - x)^2  + 1}  - x) = \frac{1}{3}\ln \frac{{(\sqrt {x^2  + 1}  - x)(\sqrt {x^2  + 1}  + x)}}{{\sqrt {x^2  + 1}  + x}} =  - \frac{1}{3}\ln (\sqrt {x^2  + 1}  + x) =  - f(x) 
}
Δηλαδή η συνάρτηση είναι περιττή, θα το χρησιμοποιήσουμε όταν αναζητήσουμε την αντίστροφη της.

Εξετάζουμε αν αντιστρέφεται, βρίσκουμε την παράγωγο της:
\displaystyle{ 
f'(x) = \frac{1}{3}\frac{{\frac{{2x}}{{2\sqrt {x^2  + 1} }} + 1}}{{\sqrt {x^2  + 1}  + x}} = \frac{1}{3}\frac{{\frac{{x + \sqrt {x^2  + 1} }}{{\sqrt {x^2  + 1} }}}}{{x + \sqrt {x^2  + 1} }} = \frac{1}{{3\sqrt {x^2  + 1} }} > 0 
} παντού θετική στο \displaystyle{ 
R 
}

άρα γνησιως μονότονη συνεπώς "1-1" άρα η f αντιστρέφεται.

Έστω \displaystyle{ 
f(x) = y 
}
επειδή η συνάρτηση μας είναι περιττή θα ισχύει και \displaystyle{ 
 - f( - x) = y 
}
Άρα \displaystyle{ 
\left\{ \begin{array}{l} 
 \frac{1}{3}\ln (\sqrt {x^2  + 1}  + x) = y \\  
  - \frac{1}{3}\ln (\sqrt {x^2  + 1}  - x) = y \\  
 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
 \sqrt {x^2  + 1}  + x = e^{3y}  \\  
 \sqrt {x^2  + 1}  - x = e^{ - 3y}  \\  
 \end{array} \right.\mathop  \Rightarrow \limits^ -  2x = e^{3y}  - e^{ - 3y}  \Rightarrow x = \frac{{e^{3y}  - e^{ - 3y} }}{2} 
}

συνεπώς η αντίστροφη συνάρτηση μας είναι η \displaystyle{ 
f^{ - 1} (x) = \frac{{e^{3x}  - e^{ - 3x} }}{2} 
}
με πεδίο ορισμού το ....R :shock:
Έκανα την γραφική παράσταση και των δύο και μου φάνηκε παράξενο το πεδίο ορισμού της αντίστροφης , μαλλον είναι κομμάτι αργές λίγο


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10960
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Αντίστροφη (Γ' ΛΥΚ -ΚΑΤΕΥΘ)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Δεκ 31, 2011 2:17 am

Σωστός !

Δύο παραλλαγές ( αφού καθαρίσαμε με το Π.Ο) . Η μονοτονία θα μπορούσε να προκύψει και από την παράγωγο

της g(x)=x+\sqrt{x^2+1 , που είναι \displaystyle 1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} > 0 , ( αφού |x|<\sqrt{x^2+1 , όπως δείξαμε παραπάνω )

Στη συνέχεια έχω : \displaystyle y=\frac{1}{3}ln(x+\sqrt{x^2+1})\Leftrightarrow 3y=ln(x+\sqrt{x^2+1})\Leftrightarrow e^{3y}=x+\sqrt{x^2+1

\displaystyle e^{3y}-x=\sqrt{x^2+1}\Leftrightarrow (e^{3y}-x)^2=x^2+1\Leftrightarrow e^{6y}-2e^{3y}x+x^2=x^2+1 \Leftrightarro

\displaystyle \Leftrightarrow e^{6y}-2e^{3y}x=1 \Leftrightarrow2e^{3y}x=e^{6y}-1\Leftrightarrow x=\frac{e^{3y}-e^{-3y}}{2} , κ.λ.π ( αποφύγαμε την περιττότητα !)


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1715
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Αντίστροφη (Γ' ΛΥΚ -ΚΑΤΕΥΘ)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Σάβ Δεκ 31, 2011 3:33 am

KARKAR έγραψε: Η μονοτονία θα μπορούσε να προκύψει και από την παράγωγο

της g(x)=x+\sqrt{x^2+1 , που είναι \displaystyle 1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} > 0 , ( αφού |x|<\sqrt{x^2+1 , όπως δείξαμε παραπάνω )
Να συμπληρώσω μόνο για τους αναγνώστες ότι θα χρειαστεί τότε να δείξουμε ότι η σύνθεση δύο γν. αύξουσων συναρτήσεων είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης