Αντίστροφη (Γ' ΛΥΚ -ΚΑΤΕΥΘ)

KARKAR · #1

Βρείτε ( εφόσον υπάρχει ) , την αντίστροφη της συνάρτησης : $\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}ln\left(x+\sqrt{x^2+1} \right)$

Μέχρι 26/12

Christos.N · #2

Καλό βράδυ και χρόνια πολλά ..εύχομαι καλή χρονιά σε όλους γεμάτη δύναμη
Για την άσκηση τώρα, μιας και πέρασε και ο καιρός της.
Κατ' αρχήν δύο παρατηρήσεις :
1) $\displaystyle{ \sqrt {x^2 + 1} > \sqrt {x^2 } \ge |x| \ge - x \Rightarrow \sqrt {x^2 + 1} + x > 0 }$ για όλα τα $\displaystyle{ x \in R }$
άρα εξασφαλίσαμε το πεδίο ορισμού της.
2) $\displaystyle{ f( - x) = \frac{1}{3}\ln (\sqrt {( - x)^2 + 1} - x) = \frac{1}{3}\ln \frac{{(\sqrt {x^2 + 1} - x)(\sqrt {x^2 + 1} + x)}}{{\sqrt {x^2 + 1} + x}} = - \frac{1}{3}\ln (\sqrt {x^2 + 1} + x) = - f(x) }$
Δηλαδή η συνάρτηση είναι περιττή, θα το χρησιμοποιήσουμε όταν αναζητήσουμε την αντίστροφη της.

Εξετάζουμε αν αντιστρέφεται, βρίσκουμε την παράγωγο της:
$\displaystyle{ f'(x) = \frac{1}{3}\frac{{\frac{{2x}}{{2\sqrt {x^2 + 1} }} + 1}}{{\sqrt {x^2 + 1} + x}} = \frac{1}{3}\frac{{\frac{{x + \sqrt {x^2 + 1} }}{{\sqrt {x^2 + 1} }}}}{{x + \sqrt {x^2 + 1} }} = \frac{1}{{3\sqrt {x^2 + 1} }} > 0 }$ παντού θετική στο $\displaystyle{ R }$

άρα γνησιως μονότονη συνεπώς " 1-1

" άρα η

αντιστρέφεται.

Έστω $\displaystyle{ f(x) = y }$
επειδή η συνάρτηση μας είναι περιττή θα ισχύει και $\displaystyle{ - f( - x) = y }$
Άρα $\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{3}\ln (\sqrt {x^2 + 1} + x) = y \\ - \frac{1}{3}\ln (\sqrt {x^2 + 1} - x) = y \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x^2 + 1} + x = e^{3y} \\ \sqrt {x^2 + 1} - x = e^{ - 3y} \\ \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^ - 2x = e^{3y} - e^{ - 3y} \Rightarrow x = \frac{{e^{3y} - e^{ - 3y} }}{2} }$

συνεπώς η αντίστροφη συνάρτηση μας είναι η $\displaystyle{ f^{ - 1} (x) = \frac{{e^{3x} - e^{ - 3x} }}{2} }$
με πεδίο ορισμού το ....

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

KARKAR · #3

Σωστός !

Δύο παραλλαγές ( αφού καθαρίσαμε με το Π.Ο) . Η μονοτονία θα μπορούσε να προκύψει και από την παράγωγο

της $g(x)=x+\sqrt{x^2+1$ , που είναι $\displaystyle 1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} > 0$ , ( αφού $|x|<\sqrt{x^2+1$ , όπως δείξαμε παραπάνω )

Στη συνέχεια έχω : $\displaystyle y=\frac{1}{3}ln(x+\sqrt{x^2+1})\Leftrightarrow 3y=ln(x+\sqrt{x^2+1})\Leftrightarrow e^{3y}=x+\sqrt{x^2+1$

$\displaystyle e^{3y}-x=\sqrt{x^2+1}\Leftrightarrow (e^{3y}-x)^2=x^2+1\Leftrightarrow e^{6y}-2e^{3y}x+x^2=x^2+1 \Leftrightarro$

$\displaystyle \Leftrightarrow e^{6y}-2e^{3y}x=1 \Leftrightarrow2e^{3y}x=e^{6y}-1\Leftrightarrow x=\frac{e^{3y}-e^{-3y}}{2}$ , κ.λ.π ( αποφύγαμε την περιττότητα !)

Christos.N · #4

KARKAR έγραψε: Η μονοτονία θα μπορούσε να προκύψει και από την παράγωγο

της $g(x)=x+\sqrt{x^2+1$ , που είναι $\displaystyle 1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} > 0$ , ( αφού $|x|<\sqrt{x^2+1$ , όπως δείξαμε παραπάνω )

Να συμπληρώσω μόνο για τους αναγνώστες ότι θα χρειαστεί τότε να δείξουμε ότι η σύνθεση δύο γν. αύξουσων συναρτήσεων είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση.

Αντίστροφη (Γ' ΛΥΚ -ΚΑΤΕΥΘ)

Αντίστροφη (Γ' ΛΥΚ -ΚΑΤΕΥΘ)

Re: Αντίστροφη (Γ' ΛΥΚ -ΚΑΤΕΥΘ)

Re: Αντίστροφη (Γ' ΛΥΚ -ΚΑΤΕΥΘ)

Re: Αντίστροφη (Γ' ΛΥΚ -ΚΑΤΕΥΘ)

Μέλη σε σύνδεση