Εξίσωση

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Παρ Αύγ 14, 2009 1:33 am

Να λύσετε την εξίσωση
(x^{2}+x-2)^{3}+x^{2}-2=x^{3}, στο R
Μέχρι 30 Αυγούστου 2009 - όρια- συναρτήσεις συνέχεια γ΄λυκείου

Μπορεί να λυθεί και στην β΄λυκείου αλλά έχει πιο καλή λύση με ΄γ λυκείου


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Παρ Ιαν 01, 2010 11:48 am

Δίνω ένα αρχείο sketchpad για να φανούν οι ρίζες x = \sqrt{2} και x = -\sqrt{2}
Συνημμένα
Βασίλης2.gsp
(4.09 KiB) Μεταφορτώθηκε 71 φορές
Βασίλης.gsp
(2.96 KiB) Μεταφορτώθηκε 51 φορές
τελευταία επεξεργασία από xr.tsif σε Παρ Ιαν 01, 2010 7:08 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11746
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 01, 2010 2:49 pm

mathxl έγραψε:Να λύσετε την εξίσωση
(x^{2}+x-2)^{3}+x^{2}-2=x^{3}, στο R
Μέχρι 30 Αυγούστου 2009 - όρια- συναρτήσεις συνέχεια γ΄λυκείου

Μπορεί να λυθεί και στην β΄λυκείου αλλά έχει πιο καλή λύση με ΄γ λυκείου
Υπόδειξη, για τους μαθητές μας
Φέρτε την εξίσωση στη μορρφή A^3 + A = B^3 + B \,\, όπου Α, Β κατάλληλες παραστάσεις του x. Δεν θα χρειαστεί να ανοίξετε παρενθέσεις.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3255
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Ιαν 01, 2010 6:03 pm

ex.png
Σχεδιάστηκε με Sketchpad 5.0
ex.png (79.24 KiB) Προβλήθηκε 601 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11746
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εξίσωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιαν 01, 2010 7:18 pm

Ακριβώς, όπως γράφει ο Μιχάλης (ruxumuxu).

Για να την πιάσουμε από την αρχή και ολοκληρωμένα, αυτό που είχα στον νου ήταν:

Η εξίσωση γράφεται (x^2+x-2)^3 + (x^2+x-2) = x^3 + x\,\, που είναι της μορφής
A^3+A = B^3 + B.
Η τελευταία είναι ισοδύναμη με Α = Β διότι

α) (με γνώσεις Γ' Λυκείου) η f(\theta) = \theta ^3 + \theta \,\, είναι 1-1 ως γνήσια αύξουσα (f^{\prime}(\theta) = \theta ^2 + 1 > 0 )\,\, οπότε Α = Β

ή

β) (με γνώσεις Β' Λυκείου) γράφεται ισοδύναμα (A-B)(A^2 + AB + B^2 +1).
Όμως A^2 + AB + B^2 +1 > 0 \,\, (διότι ως δευτεροβάθμιο ως προς Α έχει \Delta = -3B^2 - 4 < 0 ή διότι γράφεται (A+\frac{B}{2})^2 + \frac{3B^2}{4} + 1 > 0 \,\,.

Όπως και να είναι, έχουμε Α = B, δηλαδή x^2+x-2 = x\,, άρα x = \pm \sqrt 2

Φιλικά,

Μιχάλης


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης