Βασική πρόταση για κάθε συνάρτηση

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Βασική πρόταση για κάθε συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Τετ Οκτ 07, 2009 10:48 pm

Πρόταση
Α. Να αποδείξετε ότι κάθε συνάρτηση μπορεί να γραφτεί κατά μοναδικό τρόπο* ως άθροισμα μιας άρτιας και περιττής συνάρτησης.
Β. Να γράψετε τις συναρτήσεις y=a^{x} και y=\sqrt[3]{x+1} ως άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης.
Το ερέθισμα μου το έδωσε ο Βασίλης (mathxl) με μια άσκηση που έβαλε

*Επισήμανση του κύριου Μαυρογιάννη

Μέχρι 20 Οκτωβρίου 2009 περιμένω τις απαντήσεις σας...


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
andreas
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Τετ Ιουν 24, 2009 11:27 am

Re: Βασική πρόταση για κάθε συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από andreas » Πέμ Ιούλ 08, 2010 12:27 pm

Καλημερα
Α. Eστω η συναρτηση f(x). Τοτε αυτη μπορει να γραφει
f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}.
Ονομαζω h(x)=f(x)+f(-x) και g(x)=f(x)-f(-x)
h(-x)=f(-x)+f(x)=h(x). Αρα η h ειναι αρτια.
g(-x)=f(-x)-f(x)=-(f(x)-f(-x))=-g(x).Αρα η g ειναι περιττη.
Αρα καθε συναρτηση μπορει να γραφει σαν αθροισμα μιας αρτιας και μιας περιττης.
Β. y=a^x=\frac{a^x+a^{-x}}{2}+\frac{a^x-a^{-x}}{2}
και y=\sqrt[3]{x+1}=\frac{\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{1-x}}{2}+\frac{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{1-x}}{2}


Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Βασική πρόταση για κάθε συνάρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Πέμ Ιούλ 08, 2010 12:55 pm

Πολύ ωραία Ανδρέα, μας απομένει η μοναδικότητα του αθροίσματος...

Που το θυμήθηκες;

Το είχα ξεχάσει ότι είχα προτείνει τέτοια άσκηση!


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
andreas
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Τετ Ιουν 24, 2009 11:27 am

Re: Βασική πρόταση για κάθε συνάρτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από andreas » Πέμ Ιούλ 08, 2010 6:35 pm

Εστω f(x)= h_{1}(x)+h_{2}(x)=g_{1}(x)+g_{2}(x) με h_{1} και g_{1} αρτιες και h_{2} και g_{2} περιττες συναρτησεις.
h_{1}(x)+h_{2}(x)=g_{1}(x)+g_{2}(x) \Leftrightarrow  
h_{1}(x)-g_{1}(x)=g_{2}(x)-h_{2}(x).

Λημμα 1.
Η διαφορα 2 περιττων συναρτησεων ειναι περιττη συναρτηση.
Αποδειξη.
Εστω f,g περιττες και h=f-g. Toτε
h(-x)=f(-x)-g(-x)=g(x)-f(x)=-h(x). Aρα η h ειναι περιττη.

Λημμα 2.
Η διαφορα 2 αρτιων συναρτησεων ειναι αρτια συναρτηση.
Αποδειξη.
Εστω f,g αρτιες και h=f-g. Τοτε
h(-x)=f(-x)-g(-x)=f(x)-g(x)=h(x). Aρα η h ειναι αρτια.

Αρα h_{1}(x)-g_{1}(x) ειναι αρτια και g_{2}(x)-h_{2}(x) ειναι περιττη. Αλλα η μονη συναρτηση που ειναι ταυτοχρονα και αρτια και περιττη ειναι η f(x)=0(βγαινει αμεσα απ'τους ορισμους). Aρα h_{1}=g_{1} και h_{2}=g_{2}.


Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Βασική πρόταση για κάθε συνάρτηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Πέμ Ιούλ 08, 2010 8:03 pm

Ανδρέα αυτή την απόδειξη είχα κατά νου, πολύ καλός! Μαθητής ή καθηγητής;


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
andreas
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Τετ Ιουν 24, 2009 11:27 am

Re: Βασική πρόταση για κάθε συνάρτηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από andreas » Πέμ Ιούλ 08, 2010 9:26 pm

Μαθητής, θα πάω Γ' φέτος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες