Rolle (Γ-ΛΥΚ-ΚΑΤ)

#1

Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο: P(x)= x^n+ax+b

με $n\geq 2$ και $a,b\in R$
έχει το πολύ τρεις πραγματικές ρίζες.

Μέχρι 25/4/13

gian7 · #2

xr.tsif έγραψε:Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο: με $n\geq 2$ και $a,b\in R$
έχει το πολύ τρεις πραγματικές ρίζες.

Μέχρι 25/4/13

Έστω ότι έχει τέσσερις πραγματικές ρίζες $\displaystyle{x_1, x_2, x_3, x_4}$ με χωρίς βλάβη της γενικότητας $\displaystyle{x_1<x_2<x_3<x_4}$

Από Θ.Rolle υπάρχουν $\displaystyle{x_5\in (x_1,x_2) , x_6\in (x_2, x_3)}$ και $\displaystyle{x_7\in (χ_3,χ_4) : f'(x_5)=f'(x_6)=f'(x_7)=0}$

Ακόμα από Θ.Rolle υπάρχουν $\displaystyle{x_8\in (x_5, x_6)}$ και $\displaystyle{x_9\in (x_6,x_7): f''(x_8)=f''(x_9)=0}$

Όμως $\displaystyle{f''(x) = n(n-1)x^{n-2}}$ που έχει το πολύ μια ρίζα για $\displaystyle{n\geq 2}$

Τελικά το πολυώνυμο $\displaystyle{P(x)= x^n+ax+b}$ έχει το πολύ τρεις πραγματικές ρίζες

Rolle (Γ-ΛΥΚ-ΚΑΤ)

Rolle (Γ-ΛΥΚ-ΚΑΤ)

Re: Rolle

Μέλη σε σύνδεση