Επαναληπτική(για να μην ξεχνιόμαστε)

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Επαναληπτική(για να μην ξεχνιόμαστε)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Τετ Δεκ 30, 2009 2:56 pm

Έστω η συνάρτηση f(x) = \frac{2e^x}{\sqrt{e^2^x+1}} με x\in R.
i) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και να βρείτε το σύνολο τιμών της.
ii) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της f.
iii) Να λύσετε την ανισότητα f(f(x))>f(\sqrt{2}).
iv) Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα \xi \in (1,3), τέτοιο ώστε f^3(\xi )=f(1)\cdot f(2)\cdot f(3).


Χρήστος


Μέχρι 3/01/2010


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Dimitris X
Δημοσιεύσεις: 243
Εγγραφή: Τρί Ιουν 23, 2009 10:51 pm

Re: Επαναληπτική(για να μην ξεχνιόμαστε)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dimitris X » Σάβ Ιαν 02, 2010 3:06 am

Είναι πολύ βράδυ και έτσι μπορεί να έχω κάνει κάποιο απρόσεχτο λάθος......

i)
f'(x)=\frac{2e^x}{\sqrt{e^{2x}+1} \cdot (e^{2x}+1)} >0.

Άρα η f γνησίως αύξουσα σε όλο το \mathbb{R}.

Επομένως το σύνολο τιμών τησ συνάρτησης θα είναι f(A)=\left(\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}f(x)},\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f(x) \right)

Αλλά εύκολα υπολογίζουμε ότι:
\displaystyle{\lim_{x \to -\infty}f(x)}=0 και \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f(x)=2.

Επομένως f(A)=(0,2)

ii)

y=\frac{2e^x}{\sqrt{e^{2x}+1}},y\in (0,2)

Επομένως y^2(e^{2x}+1)=4e^{2x} \Longleftrightarrow e^{2x}(y^2-4)=-y^2 \Longleftrightarrow e^{2x}=\frac{y^2}{4-y^2} \Longleftrightarrow x=\frac{1}{2} \cdot ln\frac{y^2}{4-y^2}.

Επομένως f^{-1}(x)=\frac{1}{2} \cdot ln\frac{x^2}{4-x^2},x \in (0,2)

iii)
Αφού η f γν.αύξουσα συνάρτηση η f(f(x))>f(\sqrt{2}) \Longleftrightarrow f(x)>\sqrt{2} \Longleftrightarrow \frac{2e^x}{\sqrt{e^{2x}+1}} >\sqrt{2} \Longleftrightarrow 2e^{2x}\ge e^{2x}+1 \Longleftrightarrow e^{2x} >1 \Longleftarrow x>0

iv)

Θεωρούμε την g(x)=f^3(x)-f(1)f(2)f(3).

Η g συνεχής στο [1,3] και g(1)=f(1)(f^2(1)-f(2)f(3))<0 (γιατί f γν.αύξουσα.Άρα f(1)<f(2),f(1)<f(3) και η f(x)>0.)

Παρόμοια παίρνουμε g(3)>0..Επομένως από θεώρημα bolzano παίρνουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον 1 x_1 \in (1,3) τέτοιο ωστε f^3(x_1)=f(1)f(2)f(3),το οποίο μάλιστα είναι μοναδικό γιατί έαν υπήρχε και άλλο(έστω x_2) θα έπρεπε f^3(x_1)=f^3(x_2) \Longleftrightarrow f(x_1)=f(x_2) \Longleftrightarrow x_1=x_2 γιατί η f '1-1'......άρα το x_1 μοναδικό...


Y.Γ.
Καλή και δημιουργιή χρονιά σε όλους.
Δημήτρης


xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Επαναληπτική(για να μην ξεχνιόμαστε)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Σάβ Ιαν 02, 2010 10:37 am

Πολύ ωραία Δημήτρη, σε ευχαριστώ

Για το iv) υπάρχει και άλλος τρόπος με Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης