Ίσα εμβαδά!

Στέλιος Μαρίνης · #1

Τα περιγράμματα των τετραγώνων στα δύο σχήματα κατασκευάστηκαν με τη βοήθεια σανίδων δύο μεγεθών όπως βλέπετε ψηλά αριστερά.
Να αποδείξετε ότι οι πράσινες επιφάνειες στα δύο σχήματα έχουν το ίδιο εμβαδόν.

: tetragona.gif (10.81 KiB) Προβλήθηκε 987 φορές

(Το εμβαδόν των περιγραμμάτων-σανίδων να θεωρηθεί αμελητέο)

Μέχρι τέλους του 2014

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Επαναφορά.

#3

Στέλιος Μαρίνης έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 23, 2014 6:30 pm
Τα περιγράμματα των τετραγώνων στα δύο σχήματα κατασκευάστηκαν με τη βοήθεια σανίδων δύο μεγεθών όπως βλέπετε ψηλά αριστερά.
Να αποδείξετε ότι οι πράσινες επιφάνειες στα δύο σχήματα έχουν το ίδιο εμβαδόν.

(Το εμβαδόν των περιγραμμάτων-σανίδων να θεωρηθεί αμελητέο)

Μέχρι τέλους του 2014

Καλησπέρα....

Αν θεωρηθούν οι σανίδες ως ευθύγραμμα τμήματα - αφού η εκφώνηση σημειώνει ότι

το εμβαδόν αυτών είναι αμελητέο - το θέμα απαντάται θεωρώντας το ακόλουθο σχήμα:

: Ίσα εμβαδά 2.png (25.1 KiB) Προβλήθηκε 560 φορές

Για το πρώτο πράσινο χωρίο είναι:

$\displaystyle{E_1=(l+2m)^2-3m^2=l^2+m^2+4lm \ \ (1)}$

Για το δεύτερο πράσινο χωρίο επίσης είναι:

$\displaystyle{E_2=(2l+m)^2-3l^2=l^2+m^2+4lm \ \ (2)}$

Από τις (1) και (2) προκύπτει:

$\displaystyle{E_1=E_2}$ .

Παρατήρηση:
Αν όμως οι σανίδες έχουν και στοιχειώδες πάχος, έστω για παράδειγμα $\displaystyle{d}$ , τότε τα πράγματα αλλάζουν και
τα δύο χωρία δεν είναι πλέον ισοδύναμα αλλά διαφέρουν κατά την ποσότητα $\displaystyle{(l-m)d }$ τετρ. μονάδες.

(Για τούτο θα γίνει κουβέντα σε επόμενο μήνυμα...)

Κώστας Δόρτσιος

#4

Στέλιος Μαρίνης έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 23, 2014 6:30 pm
Τα περιγράμματα των τετραγώνων στα δύο σχήματα κατασκευάστηκαν με τη βοήθεια σανίδων δύο μεγεθών όπως βλέπετε ψηλά αριστερά.
Να αποδείξετε ότι οι πράσινες επιφάνειες στα δύο σχήματα έχουν το ίδιο εμβαδόν.
(Το εμβαδόν των περιγραμμάτων-σανίδων να θεωρηθεί αμελητέο)

Μέχρι τέλους του 2014

KDORTSI έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 25, 2019 11:42 pm

Καλησπέρα....

Αν θεωρηθούν οι σανίδες ως ευθύγραμμα τμήματα - αφού η εκφώνηση σημειώνει ότι

το εμβαδόν αυτών είναι αμελητέο - το θέμα απαντάται θεωρώντας το ακόλουθο σχήμα:
...............................................................................................
Παρατήρηση:
Αν όμως οι σανίδες έχουν και στοιχειώδες πάχος, έστω για παράδειγμα $\displaystyle{d}$ , τότε τα πράγματα αλλάζουν και
τα δύο χωρία δεν είναι πλέον ισοδύναμα αλλά διαφέρουν κατά την ποσότητα $\displaystyle{(m-d)d }$ τετρ. μονάδες.

(Για τούτο θα γίνει κουβέντα σε επόμενο μήνυμα...)

Κώστας Δόρτσιος

Καλημέρα...

Ας μελετήσουμε το πρόβλημα στην περίπτωση που οι σανίδες έχουν ένα στοιχειώδες πάχος ίσο με $\displaystyle{d}$ .
Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Ίσα εμβαδά 4.png (47.01 KiB) Προβλήθηκε 494 φορές

Από το σχήμα αυτό θα προκύπτει εύκολα ότι το εμβαδόν του τετραγώνου που περιβάλλει
το πρώτο σχήμα θα είναι:

$\displaystyle{E_o=(l+2m)^2=l^2+4m^2+4lm \ \ (1)}$

Από το εμβαδόν αυτό πρέπει να αφαιρεθούν:
1ο) Το εβμαδόν των σανίδων που βρίσκονται στο περίγραμμά του που είναι:

$\displaystyle{E_{ext}=2(l+2m)d+2(l+2m-2d)d=4l+8m-4d^2 \ \ (2)}$

2o) Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με διαστάσεις $\displaystyle{m, m-d}$ και δύο τετραγώνων
με διαστάσεις $\displaystyle{m-d, m-d}$ , το οποίο είναι:

$\displaystyle{E_{3carrés}=m(m-d)+2(m-d)^2=3m^2-5md+2d^2 \ \ (3) }$

Άρα το εμβαδόν του πράσινου χωρίου του πρώτου σχήματος θα είναι:

$\displaystyle{E_1=E_o-E_{ext}-E_{3carrés}=l^2+m^2+4lm-4ld-3md+2d^2 \ \ (4)}$

Εργαζόμενοι παρόμοια στο δεύτερο σχήμα και παρατηρώντας τη συνδεσμολογία των σανίδων
προκύπτει ότι:

$\displaystyle{E_2=(2l+m)^2-[2(2l+m)d+2(2l+m-2d)d]-[(l-d)(2l-d)+l(l-d)] \ \ (5) }$

Εκτελώντας τις πράξεις στην (5) προκύπτει:

$\displaystyle{E_2=l^2+m^2+4lm-3ld-4md+2d^2 \ \ (6)}$

Από τις (4) και (6) προκύπτει ότι:

$\displaystyle{E_2-E_1=(l-m)d \ \ (7) }$

Δηλαδή τα πράσινα χωρία δεν είναι ισοδύναμα, αλλά διαφέρουν κατά το εμβαδόν
της διαφοράς του μήκους των δύο σανίδων.

Κώστας Δόρτσιος

Ίσα εμβαδά!

Ίσα εμβαδά!

Re: Ίσα εμβαδά!

Re: Ίσα εμβαδά!

Re: Ίσα εμβαδά!

Μέλη σε σύνδεση