Παράσταση!

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
big-pitsirikos
Δημοσιεύσεις: 59
Εγγραφή: Τετ Οκτ 19, 2016 11:25 am

Παράσταση!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από big-pitsirikos » Κυρ Οκτ 23, 2016 9:01 am

Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης :

\dfrac{(3\sqrt{3}+5)^{\dfrac{1}{3}}+(3\sqrt{3}-5)^{\dfrac{1}{3}}}{2^{\dfrac{2}{3}} \sqrt{3}}.

Α Λυκείου - Μέχρι την επέτειο του ΟΧΙ.


Αλίμονο σ'αυτούς που δεν ξέρουν ότι δεν ξέρουν αυτά που δεν ξέρουν !

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
big-pitsirikos
Δημοσιεύσεις: 59
Εγγραφή: Τετ Οκτ 19, 2016 11:25 am

Re: Παράσταση!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από big-pitsirikos » Σάβ Οκτ 29, 2016 8:49 pm

big-pitsirikos έγραψε:Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης :

\dfrac{(3\sqrt{3}+5)^{\dfrac{1}{3}}+(3\sqrt{3}-5)^{\dfrac{1}{3}}}{2^{\dfrac{2}{3}} \sqrt{3}}.

Α Λυκείου - Μέχρι την επέτειο του ΟΧΙ.
Επαναφορά!


Αλίμονο σ'αυτούς που δεν ξέρουν ότι δεν ξέρουν αυτά που δεν ξέρουν !
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4405
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Παράσταση!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Οκτ 29, 2016 9:22 pm

big-pitsirikos έγραψε:Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης :

\dfrac{(3\sqrt{3}+5)^{\dfrac{1}{3}}+(3\sqrt{3}-5)^{\dfrac{1}{3}}}{2^{\dfrac{2}{3}} \sqrt{3}}.

Α Λυκείου - Μέχρι την επέτειο του ΟΧΙ.
Από τη γνωστή ταυτότητα:
\displaystyle{\alpha + \beta = \sqrt[3]{\alpha^3} + \sqrt[3]{\beta^3} = \left ( \sqrt[3]{\alpha} + \sqrt[3]{\beta}  \right )\left ( \sqrt[3]{\alpha^2} -\sqrt[3]{\alpha \beta} + \sqrt[3]{\beta^2} \right )} βγάζουμε ότι ο αριθμητής ισούται με 2^{2/3} \sqrt{3}. Άρα :
\displaystyle{\frac{\sqrt[3]{3\sqrt{3} -5 } + \sqrt[3]{3\sqrt{3}+5}}{2^{2/3} \sqrt{3}} = \frac{2^{2/3} \sqrt{3}}{2^{2/3} \sqrt{3}} =1}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6272
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Παράσταση!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Οκτ 29, 2016 9:25 pm

big-pitsirikos έγραψε:Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης :

\dfrac{(3\sqrt{3}+5)^{\dfrac{1}{3}}+(3\sqrt{3}-5)^{\dfrac{1}{3}}}{2^{\dfrac{2}{3}} \sqrt{3}}.
\displaystyle{\dfrac{(3\sqrt{3}+5)^{\dfrac{1}{3}}+(3\sqrt{3}-5)^{\dfrac{1}{3}}}{2^{\dfrac{2}{3}} \sqrt{3}}=x \implies}

\displaystyle{\implies (3\sqrt{3}+5)^{\dfrac{1}{3}}+(3\sqrt{3}-5)^{\dfrac{1}{3}}-2^{\frac{2}{3}}}\sqrt{3}x=0\stackrel{({\color{red}\bigstar})}{\implies} }

\displaystyle{3\sqrt{3}+5+3\sqrt{3}-5-4x^3\cdot 3\sqrt{3}=-3\cdot 2^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{2}{3}}x\sqrt{3}\implies 2x^3-x-1=0\implies }

\displaystyle{\implies (x-1)(2x^2+2x+1)=0\implies \boxed{x=1}.}

\displaystyle{\rule{450pt}{1pt}}

\displaystyle{({\color{red}\bigstar}):~~~a+b+c=0\implies a^3+b^3+c^3=3abc}


Μάγκος Θάνος
maiksoul
Δημοσιεύσεις: 608
Εγγραφή: Παρ Αύγ 30, 2013 12:35 am
Τοποθεσία: ΚΕΡΚΥΡΑ

Re: Παράσταση!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από maiksoul » Κυρ Οκτ 30, 2016 12:16 am

big-pitsirikos έγραψε:Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης :

\dfrac{(3\sqrt{3}+5)^{\dfrac{1}{3}}+(3\sqrt{3}-5)^{\dfrac{1}{3}}}{2^{\dfrac{2}{3}} \sqrt{3}}.

Α Λυκείου - Μέχρι την επέτειο του ΟΧΙ.
Καλησπέρα , μια προσέγγιση ακόμη ...
Είναι :
3\sqrt{3}+5=\frac{6\sqrt{3}+10}{2}=\frac{3\sqrt{3}+3\sqrt{3}^{2}+3\sqrt{3}+1}{2}=\frac{(\sqrt{3}+1)^{3}}{2}
και όμοια :
3\sqrt{3}-5=\frac{(\sqrt{3}-1)^{3}}{2}
Έτσι αν A η ζητούμενη παράσταση ,έχουμε:
A=\frac{\frac{\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1}{\sqrt[3]{2}}}{2^{\frac{2}{3}}\sqrt{3} }=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} =1


ΣΟΥΛΑΝΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης