Εφαπτόμενες από γνωστό σημείο

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Εφαπτόμενες από γνωστό σημείο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τρί Νοέμ 08, 2016 10:47 am

Λίγο διαφορετική διατύπωση από την άσκηση αυτή

Να βρεθούν οι εφαπτόμενες στη γραφική παράσταση της \displaystyle{f(x)=x^4-2x^2+x} οι οποίες διέρχονται από το σημείο \displaystyle{A(0,-1)}


(Γ Λυκείου - Μέχρι 12/11/16)


Γιώργος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 805
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Εφαπτόμενες από γνωστό σημείο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τρί Νοέμ 15, 2016 4:32 pm

Έχουμε την f(x)=x^4-2x^2+x η οποία έχει παράγωγο f'(x)=4x^3-4x+1

Η εφαπτομένη της C_f στο σημείο M_0(x_0, f(x_0)) έχει εξίσωση:

y-f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0) (1)

Όμως η εφαπτομένη περνάει από το A(0,-1), άρα με αντικατάσταση στην (1) έχουμε:

-1-f(x_0) = f'(x_0)(0-x_0) \Leftrightarrow f(x_0)+1 = x_0f'(x_0)  \\ \Leftrightarrow x_0^4-2x_0^2+x_0+1 =4x_0^4-4x_0^2+x_0  \Leftrightarrow 3x_0^4-2x_0^2-1=0  \\ \Leftrightarrow (x_0^2-1)(3x_0^2+1)=0.

Άρα x_0=1 ή x_0=-1

Επειδή f(1)=0 και f'(1)=1, η (1) γίνεται: y= x-1 (2)

Επειδή f(-1)=-2 και f'(1)=1, η (1) γίνεται: y= x-1, που είναι ίδια με την (2).

Επομένως, υπάρχει μία μόνο κοινή εφαπτομένη, στα x_0=1 και x_0=-1, με εξίσωση \boxed{y=x-1}, η οποία περνά από το A(0,-1).
Συνημμένα
Εφαπτόμενες από γνωστό σημείο.png
Εφαπτόμενες από γνωστό σημείο.png (16.67 KiB) Προβλήθηκε 486 φορές


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Εφαπτόμενες από γνωστό σημείο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τρί Νοέμ 15, 2016 5:42 pm

:coolspeak:


Γιώργος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες