Ελάχιστη Τιμή

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 590
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Ελάχιστη Τιμή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Κυρ Δεκ 04, 2016 5:33 pm

Αν για τους θετικούς πραγματικούς ισχύει a+b+c \le 3, να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή της παράστασης:
A=\frac{2a+1}{b+c}+\frac{2b+1}{a+c}+\frac{2c+1}{a+b} , και να πείτε για ποιες τιμές των a,b,c επιτυγχάνεται.

Juniors - Άλγεβρα Έως :santalogo: (Ας την προσπαθήσουν πρώτα οι λιγότερο έμπειροι στις ανισότητες...)


Bye :')
Λέξεις Κλειδιά:
Θετικοι
Ελάχιστη-Τιμή
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Ελάχιστη Τιμή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Δεκ 04, 2016 10:15 pm

Αρχικά ισχύει ότι:

\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ab}+\dfrac{c^2}{ac+bc}\geq\dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\geq \dfrac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}=\dfrac{3}{2}

Άρα προκύπτει ότι:

\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq \dfrac{3}{2}\Rightarrow \dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{c+a}+\dfrac{2c}{a+b}\geq 3 (1)

Η ισότητα ισχύει όταν a=b=c.

Ακόμη ισχύει ότι:

\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{1^2}{a+b}+\dfrac{1^2}{b+c}+\dfrac{1^2}{c+a}\geq \dfrac{(1+1+1)^2}{(a+b)+(b+c)+(c+a)}=\dfrac{9}{2(a+b+c)}\geq \dfrac{9}{6}

Άρα προκύπτει ότι:

\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\geq \dfrac{9}{6} (2)

Η ισότητα ισχύει όταν a=b=c και όταν a+b+c=3, δηλαδή όταν a=b=c=1.

Προσθέτουμε τις σχέσεις (1) και (2) κατά μέλη και προκύπτει ότι:

\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{c+a}+\dfrac{2c}{a+b}+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\geq \dfrac{9}{2}\Rightarrow \dfrac{2a+1}{b+c}+\dfrac{2b+1}{a+c}+\dfrac{2c+1}{a+b}\geq \dfrac{9}{2}

με ισότητα όταν a=b=c=1

Άρα η ελάχιστη τιμή του A είναι \dfrac{9}{2} και επιτυγχάνεται όταν a=b=c=1


Houston, we have a problem!
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες