Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 13
Συντονιστής: polysot
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 13
Διαγώνισμα 13 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Juniors
Πρόβλημα 1
Να δείξετε ότι
για όλους τους πραγματικούς αριθμούς με Για ποιες ακέραιες τιμές των ισχύει η ισότητα;
Πρόβλημα 2
Θεωρούμε τρίγωνο με και σημείο στο εσωτερικό του. Έστω και τα συμμετρικα του ως προς τις πλευρές και αντίστοιχα. Αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, να δείξετε ότι η γωνία είναι ορθή.
Πρόβλημα 3
Να βρείτε όλες τις τριάδες πρώτων αριθμών για τις οποίες ισχύει και
Πρόβλημα 4
Είκοσι παιδιά κρατούν σχοινιά. Τα άκρα κάθε σχοινιού κρατούν δύο παιδιά, ένα για κάθε άκρο. Δύο παιδιά μπορούν να κρατούν ένα μόνο κοινό σχοινί. Υποθέτουμε ότι ένα ζευγάρι σχοινιών των οποίων τα τέσσερα άκρα κρατούν διαφορετικά παιδιά μπορεί να επιλεγεί με ακριβώς τρόπους. Να αποδείξετε ότι κάθε παιδί κρατά τον ίδιο αριθμό σχοινιών.
Πρόβλημα 1
Να δείξετε ότι
για όλους τους πραγματικούς αριθμούς με Για ποιες ακέραιες τιμές των ισχύει η ισότητα;
Πρόβλημα 2
Θεωρούμε τρίγωνο με και σημείο στο εσωτερικό του. Έστω και τα συμμετρικα του ως προς τις πλευρές και αντίστοιχα. Αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, να δείξετε ότι η γωνία είναι ορθή.
Πρόβλημα 3
Να βρείτε όλες τις τριάδες πρώτων αριθμών για τις οποίες ισχύει και
Πρόβλημα 4
Είκοσι παιδιά κρατούν σχοινιά. Τα άκρα κάθε σχοινιού κρατούν δύο παιδιά, ένα για κάθε άκρο. Δύο παιδιά μπορούν να κρατούν ένα μόνο κοινό σχοινί. Υποθέτουμε ότι ένα ζευγάρι σχοινιών των οποίων τα τέσσερα άκρα κρατούν διαφορετικά παιδιά μπορεί να επιλεγεί με ακριβώς τρόπους. Να αποδείξετε ότι κάθε παιδί κρατά τον ίδιο αριθμό σχοινιών.
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 13
Έστω ότι κάποιος από τους είναι . Εύκολα έχουμε την λύση .socrates έγραψε: Πρόβλημα 3
Να βρείτε όλες τις τριάδες πρώτων αριθμών για τις οποίες ισχύει και
Έστω .
Τότε .
Αν , άτοπο.
Πρέπει λοιπόν .
α) Αν , τότε (1).
Επίσης, , άτοπο (το δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο ).
β) Αν , , οπότε (2).
Επίσης, (3).
Από (2), (3) , , το οποίο με δοκιμές είναι αδύνατο.
Μοναδική λύση η .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 13
Είναι , άρα .socrates έγραψε:Διαγώνισμα 13 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Juniors
Πρόβλημα 1
Να δείξετε ότι
για όλους τους πραγματικούς αριθμούς με Για ποιες ακέραιες τιμές των ισχύει η ισότητα;
Αρκεί λοιπόν ν.δ.ο. , που μετά από πράξεις γράφεται , που ισχύει.
Το ίσον αν .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 13
Ορέστης Λιγνός έγραψε:Έστω ότι κάποιος από τους είναι . Εύκολα έχουμε την λύση .socrates έγραψε: Πρόβλημα 3
Να βρείτε όλες τις τριάδες πρώτων αριθμών για τις οποίες ισχύει και
Έστω .
Τότε .
Αν , άτοπο.
Πρέπει λοιπόν .
α) Αν , τότε (1).
Επίσης, , άτοπο (το δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο ).
β) Αν , , οπότε (2).
Επίσης, (3).
Από (2), (3) , , το οποίο με δοκιμές είναι αδύνατο.
Μοναδική λύση η .
Σωστά! (Υπάρχει μια ακόμη λύση, η )
Θανάσης Κοντογεώργης
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 13
Έστω τα σημεία όπου οι τέμνουν τις αντίστοιχα.socrates έγραψε: Πρόβλημα 2
Θεωρούμε τρίγωνο με και σημείο στο εσωτερικό του. Έστω και τα συμμετρικα του ως προς τις πλευρές και αντίστοιχα. Αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, να δείξετε ότι η γωνία είναι ορθή.
Από το τρίγωνο , η ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του, άρα , και όμοια .
Τα τρίγωνα λοιπόν έχουν παράλληλες πλευρές, άρα είναι όμοια, οπότε ισόπλευρο.
Είναι εγγράψιμο, οπότε και .
Είναι , οπότε οι είναι συμπληρωματικές.
Τα είναι εγγράψιμα (εύκολο), άρα , οπότε συμπληρωματικές, που ισοδυναμεί με το ζητούμενο.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 13
Επαναφορά!socrates έγραψε: ↑Τετ Μάιος 17, 2017 12:46 amΠρόβλημα 4
Είκοσι παιδιά κρατούν σχοινιά. Τα άκρα κάθε σχοινιού κρατούν δύο παιδιά, ένα για κάθε άκρο. Δύο παιδιά μπορούν να κρατούν ένα μόνο κοινό σχοινί. Υποθέτουμε ότι ένα ζευγάρι σχοινιών των οποίων τα τέσσερα άκρα κρατούν διαφορετικά παιδιά μπορεί να επιλεγεί με ακριβώς τρόπους. Να αποδείξετε ότι κάθε παιδί κρατά τον ίδιο αριθμό σχοινιών.
Θανάσης Κοντογεώργης
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 13
Πανέμορφηsocrates έγραψε: ↑Τετ Μάιος 17, 2017 12:46 am
Πρόβλημα 4
Είκοσι παιδιά κρατούν σχοινιά. Τα άκρα κάθε σχοινιού κρατούν δύο παιδιά, ένα για κάθε άκρο. Δύο παιδιά μπορούν να κρατούν ένα μόνο κοινό σχοινί. Υποθέτουμε ότι ένα ζευγάρι σχοινιών των οποίων τα τέσσερα άκρα κρατούν διαφορετικά παιδιά μπορεί να επιλεγεί με ακριβώς τρόπους. Να αποδείξετε ότι κάθε παιδί κρατά τον ίδιο αριθμό σχοινιών.
Έστω οι μαθητές.Κάθε σχοινί ''ενώνει'' δύο μαθητές οπότε θα γράφω αν οι ενώνονται με σχοινί.Θεωρώ τα σύνολα δηλαδή για κάθε μαθητή το σύνολο των μαθητών με τους οποίους ενώνεται.Αν με συμβολίσω το πλήθος των στοιχείων του συνόλου τότε επειδή θα είναι .
Τώρα θα βρούμε με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε ένα ζευγάρι σχοινιών που τα άκρα τους δεν κρατάνε ίδια παιδιά.
Αν επιλέξουμε το τον έχουμε μαθητές και για κάποιον μένουν σχοινιά.
Έτσι έχοντας επιλέξει τον έχουμε δυνατές επιλογές.
Τότε όμως συνολικά έχουμε μετρήσει κάθε ζευγάρι σχοινί φορές ( π.χ το το έχουμε μετρήσει και ως )
Έτσι σύμφωνα με την προσθετική αρχή και την υπόθεση θα έχουμε ότι:
Στο άθροισμα όμως κάθε εμφανίζεται φορές (αφού ) και έτσι
Άρα
Από την ανισότητα των δυνάμεων έχουμε
Επειδή η ισότητα ισχύει μόνο όταν
το ζητούμενο έπεται.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 13
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Δευ Μαρ 02, 2020 2:17 pmΠανέμορφηsocrates έγραψε: ↑Τετ Μάιος 17, 2017 12:46 am
Πρόβλημα 4
Είκοσι παιδιά κρατούν σχοινιά. Τα άκρα κάθε σχοινιού κρατούν δύο παιδιά, ένα για κάθε άκρο. Δύο παιδιά μπορούν να κρατούν ένα μόνο κοινό σχοινί. Υποθέτουμε ότι ένα ζευγάρι σχοινιών των οποίων τα τέσσερα άκρα κρατούν διαφορετικά παιδιά μπορεί να επιλεγεί με ακριβώς τρόπους. Να αποδείξετε ότι κάθε παιδί κρατά τον ίδιο αριθμό σχοινιών.
Έστω οι μαθητές.Κάθε σχοινί ''ενώνει'' δύο μαθητές οπότε θα γράφω αν οι ενώνονται με σχοινί.Θεωρώ τα σύνολα δηλαδή για κάθε μαθητή το σύνολο των μαθητών με τους οποίους ενώνεται.Αν με συμβολίσω το πλήθος των στοιχείων του συνόλου τότε επειδή θα είναι .
Τώρα θα βρούμε με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε ένα ζευγάρι σχοινιών που τα άκρα τους δεν κρατάνε ίδια παιδιά.
Αν επιλέξουμε το τον έχουμε μαθητές και για κάποιον μένουν σχοινιά.
Έτσι έχοντας επιλέξει τον έχουμε δυνατές επιλογές.
Τότε όμως συνολικά έχουμε μετρήσει κάθε ζευγάρι σχοινί φορές ( π.χ το το έχουμε μετρήσει και ως )
Έτσι σύμφωνα με την προσθετική αρχή και την υπόθεση θα έχουμε ότι:
Στο άθροισμα όμως κάθε εμφανίζεται φορές (αφού ) και έτσι
Άρα
Από την ανισότητα των δυνάμεων έχουμε
Επειδή η ισότητα ισχύει μόνο όταν
το ζητούμενο έπεται.
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 13
Άλλη μια λύση:socrates έγραψε: ↑Τετ Μάιος 17, 2017 12:46 amΠρόβλημα 4
Είκοσι παιδιά κρατούν σχοινιά. Τα άκρα κάθε σχοινιού κρατούν δύο παιδιά, ένα για κάθε άκρο. Δύο παιδιά μπορούν να κρατούν ένα μόνο κοινό σχοινί. Υποθέτουμε ότι ένα ζευγάρι σχοινιών των οποίων τα τέσσερα άκρα κρατούν διαφορετικά παιδιά μπορεί να επιλεγεί με ακριβώς τρόπους. Να αποδείξετε ότι κάθε παιδί κρατά τον ίδιο αριθμό σχοινιών.
Έστω ότι τα παιδιά κρατούν αντίστοιχα σχοινιά.
Τότε και
δηλαδή
Στην ανισότητα ισχύει η ισότητα...
Θανάσης Κοντογεώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 10 επισκέπτες