Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14
Συντονιστής: polysot
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14
Διαγώνισμα 14 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Seniors
Πρόβλημα 1
Αν οι είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα να αποδείξετε την ανισότητα:
Πότε ισχύει η ισότητα;
Πρόβλημα 2
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο στο , το έκκεντρο του και το ύψος . Ο κύκλος τέμνει τις
στα σημεία αντιστοίχως. Αν είναι τα έκκεντρα των τριγώνων και αντιστοίχως να αποδείξετε ότι
η είναι παράλληλη της .
Πρόβλημα 3
Να βρεθεί η ελάχιστη δυνατή τιμή του θετικού ακέραιου έτσι ώστε ο αριθμός:
να είναι ακέραιος για κάθε θετικό ακέραιο .
Πρόβλημα 4
Δίνεται το σύνολο . Ένα υποσύνολο του (έστω με )
θα ονομάζεται "προοπτικό" εάν:
(1) .
(2) .
Να βρεθεί η ελάχιστη δυνατή τιμή του έτσι ώστε να υπάρχει "προοπτικό" υποσύνολο του με στοιχεία αλλά
κάθε υποσύνολο του με στοιχεία να μην είναι "προοπτικό".
Η γεωμετρία δεν είναι δική μου.
Πρόβλημα 1
Αν οι είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα να αποδείξετε την ανισότητα:
Πότε ισχύει η ισότητα;
Πρόβλημα 2
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο στο , το έκκεντρο του και το ύψος . Ο κύκλος τέμνει τις
στα σημεία αντιστοίχως. Αν είναι τα έκκεντρα των τριγώνων και αντιστοίχως να αποδείξετε ότι
η είναι παράλληλη της .
Πρόβλημα 3
Να βρεθεί η ελάχιστη δυνατή τιμή του θετικού ακέραιου έτσι ώστε ο αριθμός:
να είναι ακέραιος για κάθε θετικό ακέραιο .
Πρόβλημα 4
Δίνεται το σύνολο . Ένα υποσύνολο του (έστω με )
θα ονομάζεται "προοπτικό" εάν:
(1) .
(2) .
Να βρεθεί η ελάχιστη δυνατή τιμή του έτσι ώστε να υπάρχει "προοπτικό" υποσύνολο του με στοιχεία αλλά
κάθε υποσύνολο του με στοιχεία να μην είναι "προοπτικό".
Η γεωμετρία δεν είναι δική μου.
τελευταία επεξεργασία από Γιάννης Μπόρμπας σε Δευ Μάιος 29, 2017 5:10 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14
Γεια σου Γιάννη.Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 14 Επίπεδο: Αρχιμήδης Seniors
Πρόβλημα 2
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο στο , το έκκεντρο του και το ύψος . Ο κύκλος τέμνει τις
στα σημεία αντιστοίχως. Αν είναι τα έκκεντρα των τριγώνων και αντιστοίχως να αποδείξετε ότι
η είναι παράλληλη της .
Είναι , οπότε (1).
Είναι συνευθειακά.
Επίσης, , οπότε (2).
Από (1), (2), , και όμοια , οπότε ορθόκεντρο του , συνεπώς (3).
Είναι (4).
Από (3), (4), .
Edit: Έβαλα το σχήμα.
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Δευ Μάιος 29, 2017 12:08 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14
Γεια σου Ορέστη!Ορέστης Λιγνός έγραψε:Γεια σου Γιάννη.Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 14 Επίπεδο: Αρχιμήδης Seniors
Πρόβλημα 2
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο στο , το έκκεντρο του και το ύψος . Ο κύκλος τέμνει τις
στα σημεία αντιστοίχως. Αν είναι τα έκκεντρα των τριγώνων και αντιστοίχως να αποδείξετε ότι
η είναι παράλληλη της .
Είναι , οπότε (1).
Είναι συνευθειακά.
Επίσης, , οπότε (2).
Από (1), (2), , και όμοια , οπότε ορθόκεντρο του , συνεπώς (3).
Είναι (4).
Από (3), (4), .
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14
Είναι προφανές Γιάννη και Ορέστη ότι μιλάμε για την πρόταση αυτήΓιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 14 Επίπεδο: Αρχιμήδης Seniors
...
Πρόβλημα 2
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο στο , το έκκεντρο του και το ύψος . Ο κύκλος τέμνει τις
στα σημεία αντιστοίχως. Αν είναι τα έκκεντρα των τριγώνων και αντιστοίχως να αποδείξετε ότι
η είναι παράλληλη της .
...
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14
Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 14 Επίπεδο: Αρχιμήδης Seniors
Πρόβλημα 3
Να βρεθεί η ελάχιστη δυνατή τιμή του θετικού ακέραιου έτσι ώστε ο αριθμός:
να είναι ακέραιος για κάθε θετικό ακέραιο .
Μία λύση ...
Για παίρνουμε και .
Για παίρνουμε και .
Έστω λοιπόν .
Θα δείξουμε ότι για ο είναι πάντοτε ακέραιος, και θα έχουμε τελειώσει.
Αν , .
Έστω .
Είναι (1).
Όμοια, (2).
Από (1), (2) και την είναι .
Συνεπώς, (3).
Είναι .
Τελικά, .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Δημοσιεύσεις: 117
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2016 5:33 pm
- Τοποθεσία: Λευκωσία
Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14
Από C/S και AM-GMΓιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 14 Επίπεδο: Αρχιμήδης Seniors
Πρόβλημα 1
Αν οι είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα να αποδείξετε την ανισότητα:
Πότε ισχύει η ισότητα
Άπο AM-GM
Τότε
Ισχύει η ισότητα αν και μόνον άν
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14
Υπάρχει πρόβλημα στην αρχή αρχή στην διάσπαση του κλάσματος.Datis-Kalali έγραψε:Από C/S και AM-GMΓιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 14 Επίπεδο: Αρχιμήδης Seniors
Πρόβλημα 1
Αν οι είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα να αποδείξετε την ανισότητα:
Πότε ισχύει η ισότητα
Άπο AM-GM
Τότε
Ισχύει η ισότητα αν και μόνον άν
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14
Κάνοντας κάποιες στοιχειώδεις πράξεις έχουμε να αποδείξουμε ότι:Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 14 Επίπεδο: Αρχιμήδης Seniors
Πρόβλημα 1
Αν οι είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα να αποδείξετε την ανισότητα:
Πότε ισχύει η ισότητα;
Όμως έχουμε πως
Επομένως έχουμε πως:
Από την άλλη έχουμε πως
Άρα
Αρκεί λοιπόν:
Από την άλλη έχουμε ότι , άρα
Συνεπώς αρκεί
Από την ανισότητα έχουμε πως
Άρα αρκεί να αποδείξουμε πως
Από την ανισότητα έχουμε πως
Συνεπώς αρκεί που ισχύει.
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Τετ Μαρ 25, 2020 10:24 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Houston, we have a problem!
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14
Πολύ ωραία! Διαφορετικά:Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Κάνοντας κάποιες στοιχειώδεις πράξεις έχουμε να αποδείξουμε ότι:Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 14 Επίπεδο: Αρχιμήδης Seniors
Πρόβλημα 1
Αν οι είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα να αποδείξετε την ανισότητα:
Πότε ισχύει η ισότητα;
Όμως έχουμε πως
Επομένως έχουμε πως:
Από την άλλη έχουμε πως
Άρα
Αρκεί λοιπόν:
Από την άλλη έχουμε ότι
Συνεπώς αρκεί
Από την ανισότητα έχουμε πως
Άρα αρκεί να αποδείξουμε πως
Από την ανισότητα έχουμε πως
Συνεπώς αρκεί που ισχύει.
.
Αρκεί να δειχθεί ότι:
Που είναι ισοδύναμη με την: (Schur).
Ισότητα όταν
Η ιδέα είναι ότι θέλουμε να ισχύει η ισότητα όταν . Οπότε με την χρήση ανισοτήτων όπως:
και καταφέρνουμε να ομογενοποιήσουμε τους όρους.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14
Διαφορετικά για το πρόβλημα 3:
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14
(Σημείωση: Στην παρακάτω λύση, συμβολίζουμε με τον Μ.Κ.Δ. και με το Ε.Κ.Π.)Γιάννης Μπόρμπας έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 28, 2017 11:05 pmΔιαγώνισμα 14 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Seniors
Πρόβλημα 4
Δίνεται το σύνολο . Ένα υποσύνολο του (έστω με )
θα ονομάζεται "προοπτικό" εάν:
(1) .
(2) .
Να βρεθεί η ελάχιστη δυνατή τιμή του έτσι ώστε να υπάρχει "προοπτικό" υποσύνολο του με στοιχεία αλλά
κάθε υποσύνολο του με στοιχεία να μην είναι "προοπτικό".
Έστω ένα προοπτικό υποσύνολο του .
Θα αποδείξουμε το εξής Λήμμα:
Λήμμα
Για κάθε πρώτο , έστω η μεγαλύτερη δύναμη που διαιρεί τον , δηλαδή , με .
Τότε, ισχύει , ή .
Απόδειξη
Έστω η μεγαλύτερη δύναμη του που διαιρεί τον και όμοια ορίζουμε .
Αν ή , το Λήμμα αποδείχτηκε. Έστω λοιπόν .
Είναι , και αφού , είναι .
Είναι προφανώς .
Έχουμε , και αφού , έχουμε .
Επίσης, έστω και , με .
Είναι .
Αν τώρα , έχουμε ότι , αφού και .
Άρα, .
Αν όμως , έχουμε άτοπο, αφού . Πρέπει λοιπόν . Άρα, .
Έστω τώρα , και , .
Επομένως, , αφού .
Έτσι, , που για , είναι άτοπο. Άρα, πάλι .
Επομένως, το Λήμμα αποδείχτηκε.
Επιστρέφουμε στην άσκηση.
Βλέπουμε πως αναγκαστικά , άρα για κάθε πρώτο , με , ισχύει και .
Αυτό σημαίνει , και αφού , είναι .
Προφανώς, , άρα , και άρα , δηλαδή .
Για υπάρχει ένα προοπτικό σύνολο , με και , για κάθε .
Προφανώς, δεν μπορεί να υπάρξει προοπτικό σύνολο με στοιχεία, γιατί τότε πρέπει να ισχύουν όλες οι ισότητες, αλλά τότε δεν θα υπάρχει ''χώρος'' για να ''μπει'' το στοιχείο .
Υ.Γ. Γιάννη, θα ήθελα να μου πεις την γνώμη σου για την λύση.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14
Καλησπέρα Ορέστη! Δεν χρειάζεται τόση βαβούρα.Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑Πέμ Απρ 19, 2018 11:02 pm(Σημείωση: Στην παρακάτω λύση, συμβολίζουμε με τον Μ.Κ.Δ. και με το Ε.Κ.Π.)Γιάννης Μπόρμπας έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 28, 2017 11:05 pmΔιαγώνισμα 14 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Seniors
Πρόβλημα 4
Δίνεται το σύνολο . Ένα υποσύνολο του (έστω με )
θα ονομάζεται "προοπτικό" εάν:
(1) .
(2) .
Να βρεθεί η ελάχιστη δυνατή τιμή του έτσι ώστε να υπάρχει "προοπτικό" υποσύνολο του με στοιχεία αλλά
κάθε υποσύνολο του με στοιχεία να μην είναι "προοπτικό".
Έστω ένα προοπτικό υποσύνολο του .
Θα αποδείξουμε το εξής Λήμμα:
Λήμμα
Για κάθε πρώτο , έστω η μεγαλύτερη δύναμη που διαιρεί τον , δηλαδή , με .
Τότε, ισχύει , ή .
Απόδειξη
Έστω η μεγαλύτερη δύναμη του που διαιρεί τον και όμοια ορίζουμε .
Αν ή , το Λήμμα αποδείχτηκε. Έστω λοιπόν .
Είναι , και αφού , είναι .
Είναι προφανώς .
Έχουμε , και αφού , έχουμε .
Επίσης, έστω και , με .
Είναι .
Αν τώρα , έχουμε ότι , αφού και .
Άρα, .
Αν όμως , έχουμε άτοπο, αφού . Πρέπει λοιπόν . Άρα, .
Έστω τώρα , και , .
Επομένως, , αφού .
Έτσι, , που για , είναι άτοπο. Άρα, πάλι .
Επομένως, το Λήμμα αποδείχτηκε.
Επιστρέφουμε στην άσκηση.
Βλέπουμε πως αναγκαστικά , άρα για κάθε πρώτο , με , ισχύει και .
Αυτό σημαίνει , και αφού , είναι .
Προφανώς, , άρα , και άρα , δηλαδή .
Για υπάρχει ένα προοπτικό σύνολο , με και , για κάθε .
Προφανώς, δεν μπορεί να υπάρξει προοπτικό σύνολο με στοιχεία, γιατί τότε πρέπει να ισχύουν όλες οι ισότητες, αλλά τότε δεν θα υπάρχει ''χώρος'' για να ''μπει'' το στοιχείο .
Υ.Γ. Γιάννη, θα ήθελα να μου πεις την γνώμη σου για την λύση.
Μπορούμε πιο γρήγορα να φτάσουμε στο συμπέρασμα ότι ως εξής:
Αρχικά, θεωρούμε ένα προοπτικό σύνολο με .
Έστω ένας πρώτος διαιρέτης του και , τότε από την 2η σχέση πρέπει ή .
Εάν τότε συνεπώς .
Εάν φτάνουμε στο ίδιο συμπέρασμα.
Σε οποιαδήποτε περίπτωση λοιπόν, συνεπώς
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Προετοιμασία για Διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 14
Διόρθωσα τον κώδικα στην δημοσίευση του ΔιονύσηΔιονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: ↑Δευ Μάιος 29, 2017 5:11 pmΚάνοντας κάποιες στοιχειώδεις πράξεις έχουμε να αποδείξουμε ότι:Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 14 Επίπεδο: Αρχιμήδης Seniors
Πρόβλημα 1
Αν οι είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με άθροισμα να αποδείξετε την ανισότητα:
Πότε ισχύει η ισότητα;
+
Όμως έχουμε πως
Επομένως έχουμε πως:
Από την άλλη έχουμε πως
Άρα
Αρκεί λοιπόν:
Από την άλλη έχουμε ότι , άρα
Συνεπώς αρκεί
Από την ανισότητα έχουμε πως
Άρα αρκεί να αποδείξουμε πως
Από την ανισότητα έχουμε πως
Συνεπώς αρκεί που ισχύει.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες