Συνθήκη περιγράψιμου (Γεωμ. Β)

[george visvikis]

Συνθήκη περιγράψιμου.png (9.2 KiB) Προβλήθηκε 899 φορές

Έστω το συμμετρικό του ορθοκέντρου ως προς την πλευρά ενός οξυγώνιου τριγώνου

Να βρείτε μία αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε το τετράπλευρο να είναι περιγράψιμο.

Μέχρι ........... 22/7/2017

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Συνθήκη περιγράψιμου.png (15.12 KiB) Προβλήθηκε 855 φορές

Καταρχάς το σημείο ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του , επομένως το είναι εγγράψιμο.

Από την συνθήκη καθετότητας παίρνουμε πως (1)

Ακόμη για να είναι το περιγράψιμο πρέπει (2)

Αφαιρώντας από την (2) την (1) κατά μέλη προκύπτει ότι .

Επομένως έπεται πως το θα είναι αρμονικό.

Άρα πρέπει το σημείο τομής των εφαπτομένων στα σημεία του περιγεγραμμένου κύκλου του , έστω , να είναι στην διαγώνιο , του αρμονικού τετραπλεύρου. Άρα πρέπει η να είναι κάθετη στην .

Όμως το είναι ισοσκελές, άρα πρέπει η να είναι και διάμεσος του τριγώνου.

Με άλλα λόγια πρέπει το να είναι το μέσο του , δηλαδή το τρίγωνο να είναι ισοσκελές.

[george visvikis]

Ωραιότατα!

Ας το γενικεύσουμε: Τι συμβαίνει αν το τρίγωνο δεν είναι οξυγώνιο;

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Για την γενίκευση:

Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στην κορυφή , τότε το θα είναι το ορθόκεντρο, επομένως το συμμετρικό του ως προς την , δηλαδή το , θα βρίσκεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του . Όμως θα έχουμε πως τα τρίγωνα και θα είναι ίσα, επομένως . Επομένως πάντα όταν το τρίγωνο θα είναι ορθογώνιο, το θα είναι περιγράψιμο.

Αν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο στην κορυφή , τότε θα ακολουθήσουμε το ίδιο σκεπτικό με την περίπτωση που το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, επομένως θα προκύψει ότι το θα είναι περιγράψιμο όταν το είναι ισοσκελές.