Αντίστροφη σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Αντίστροφη σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Παρ Ιούλ 28, 2017 3:23 pm

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\begin{cases}x^2+1,~~~~x\in[0,1]\\1+\sqrt{x+3},~x\in(1,6] \end{cases}}

είναι "1-1" και να ορίσετε την αντίστροφή της.


(Γ Λυκείου - Μέχρι 2/8/17)


Γιώργος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9799
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αντίστροφη σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Αύγ 10, 2017 12:44 am

Γιώργος Απόκης έγραψε:Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\begin{cases}x^2+1,~~~~x\in[0,1]\\1+\sqrt{x+3},~x\in(1,6] \end{cases}}

είναι "1-1" και να ορίσετε την αντίστροφή της.


(Γ Λυκείου - Μέχρι 2/8/17)
Αντίστροφη συνάρτησης.png
Αντίστροφη συνάρτησης.png (14.47 KiB) Προβλήθηκε 967 φορές
Προς το παρόν αφήνω τις γραφικές παραστάσεις και θα επανέλθω αν δεν απαντηθεί.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9799
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αντίστροφη σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Αύγ 10, 2017 9:56 am

Γιώργος Απόκης έγραψε:Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\begin{cases}x^2+1,~~~~x\in[0,1]\\1+\sqrt{x+3},~x\in(1,6] \end{cases}}

είναι "1-1" και να ορίσετε την αντίστροφή της.


(Γ Λυκείου - Μέχρι 2/8/17)
Καλημέρα Γιώργο!

Πάμε τώρα στη λύση.
● Για κάθε x_1,x_2\in[0,1], με x_1<x_2 είναι x_1^2+1<x_2^2+1, άρα είναι γνησίως αύξουσα και επειδή είναι

συνεχής στο [0,1] θα έχει σύνολο τιμών [f(0), f(1)]=[1,2]. Ομοίως αποδεικνύεται ότι η f είναι συνεχής

και γνησίως αύξουσα και στο (1,6], οπότε θα έχει σύνολο τιμών \displaystyle{\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x),f(6)} \right] = (3,4]}

Άρα η f είναι "1-1" σε καθένα από τα διαστήματα [0,1],(1,6], οπότε αντιστρέφεται και η αντίστροφη συνάρτηση θα έχει πεδίο ορισμού σε κάθε κλάδο, το αντίστοιχο σύνολο τιμών της f.

Θα βρούμε τώρα τον τύπο της αντίστροφης συνάρτησης.
● Έστω y=f(x), x\in[0,1]. Τότε x=\sqrt{y-1} και \displaystyle{{f^{ - 1}}(x) = \sqrt {x - 1} ,x \in [1,2]}

● Έστω y=f(x), x\in(1,6]. Τότε x=(y-1)^2-3 και \displaystyle{{f^{ - 1}}(x) = {x^2} - 2x - 2,x \in (3,4]}

Άρα τελικά, \boxed{{f^{ - 1}}(x) = \left\{ \begin{array}{l} 
\sqrt {x - 1,} x \in [1,2]\\ 
{x^2} - 2x - 2,x \in (3,4] 
\end{array} \right.}


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1632
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Αντίστροφη σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Αύγ 10, 2017 10:42 am

Καλημέρα σε όλους!

Έστω x_1,x_2 \in [0,1] με f(x_1)=f(x_2).

Θα αποδείξουμε ότι x_1=x_2.

Είναι f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1^2+1=x_2^2+1 \Rightarrow x_1^2=x_2^2 \mathop \Rightarrow \limits^{x_1,x_2>0} x_1=x_2.
Άρα, η f(x) είναι 1-1 στο διάστημα [0,1].

Όμοια αποδεικνύεται ότι η f(x) είναι 1-1 στο διάστημα (1,6].

Επιλέγουμε τώρα ένα x_1 \in [0,1] και ένα x_2 \in (1,6] και θα αποδείξουμε ότι δεν μπορούμε να έχουμε f(x_1)=f(x_2).

Έστω ότι f(x_1)=f(x_2)

Είναι f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1^2+1=1+\sqrt{x_2+3} \Rightarrow 1 \geqslant x_1^4=x_2+3 >4 \Rightarrow 1>4, που είναι άτοπο.

Επομένως, δεν μπορούμε να έχουμε f(x_1)=f(x_2).

Έτσι, σε όλες τις περιπτώσεις η f είναι 1-1.

Έστω τώρα πως f(x)=x^2+1, x \in [0,1].

Είναι y=x^2+1 \Rightarrow x^2=y-1, y \geqslant 1 \Rightarrow x=\sqrt{y-1} και πρέπει \sqrt{y-1}=x \leqslant 1 \Rightarrow y \leqslant 2.

Έτσι, \boxed{f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}, \, \, x \in [1,2]}.

Έστω τώρα f(x)=\sqrt{x-3}+1, x \in (1,6].

Είναι y=\sqrt{x-3}+1 \Rightarrow \sqrt{x-3}=y-1, y \geqslant 1 \Rightarrow x=(y-1)^2+3 \Rightarrow

x=y^2-2y-2, x \in (1,6).

Έτσι, 1<y^2-2y-2 \leqslant 6 \Rightarrow 3<y \leqslant 4.

Τελικά, \boxed{f^{-1}(x)=x^2-2x-2, \,\, x \in (3,4]}.

Συνοψίζοντας, \boxed{{f^{ - 1}}(x) = \left\{ \begin{array}{l} 
\sqrt {x - 1,} \,\, x \in [1,2]\\ 
{x^2} - 2x - 2, \,\, x \in (3,4] 
\end{array} \right.}


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Αντίστροφη σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Πέμ Αύγ 10, 2017 12:32 pm

Καλημέρα! Σας ευχαριστώ και τους τρεις για την ενασχόληση!


Γιώργος
margk
Δημοσιεύσεις: 259
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 08, 2009 11:45 pm

Re: Αντίστροφη σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από margk » Πέμ Αύγ 10, 2017 8:09 pm

Καλησπέρα. Θα ήθελα επισημάνω μόνο ότι δεν αρκεί για το 1-1 της συνάρτησης το ότι είναι 1-1 κατά κλάδους αλλά πρέπει να είναι 1-1 στο πεδίο
ορισμού της. Αυτό συμβαίνει στην συνάρτηση γιατί είναι 1-1 κατά κλάδο και επιπλέον τα σύνολα τιμών των δυο κλάδων δεν έχουν κοινά στοιχεία.
Αν τα δυο σύνολα τιμών δεν είναι ξένα τότε η συνάρτηση δεν είναι 1-1 ακόμη και αν είναι 1-1 σε κάθε κλάδο χωριστά.


MARGK
Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2578
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Αντίστροφη σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Παρ Αύγ 11, 2017 12:01 am

Ο Ορέστης έχει αποδείξει και για τα διαφορετικά διάστηματα το 1-1 με πολύ ωραίο τρόπο.


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Γιώργος Μήτσιος και 1 επισκέπτης