Σύνθεση και αντίστροφη

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Σύνθεση και αντίστροφη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Πέμ Αύγ 31, 2017 11:56 am

Αν \displaystyle{f(x)=\sqrt[3]{8-x^3}}, να ορίσετε την \displaystyle{{f\circ f} και την \displaystyle{f^{-1}}.



Γ Λυκείου - Μέχρι 4/9/2017


Γιώργος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1630
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Σύνθεση και αντίστροφη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Αύγ 31, 2017 2:33 pm

Γεια σου Γιώργο.

Για να ορίζεται η συνάρτηση θα πρέπει 8-x^3 \geqslant 0 \Rightarrow x \leqslant 2 οπότε D_f=(-\infty,2].

Για να ορίζεται η f \circ f πρέπει x \in D_f και f(x) \in D_f, άρα \displaystyle D_{f \circ f}=[0,2].

Για τον τύπο της (f \circ f)(x) έχουμε (f \circ f)(x)=f(f(x))= \ldots=x \Rightarrow \boxed{(f \circ f)(x)=x , \,\, x \in [0,2]}.

Για να βρούμε αν έχει αντίστροφη η συνάρτηση, πρέπει να αποδείξουμε ότι είναι 1-1.

Έστω x_1,x_2 \in D_f με f(x_1)=f(x_2). Θα αποδείξουμε ότι x_1=x_2.

Είναι f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow \sqrt[3]{8-{x_1}^3}=\sqrt[3]{8-{x_2}^3} \Rightarrow

8-{x_1}^3=8-{x_2}^3 \Rightarrow {x_1}^3={x_2}^3 \Rightarrow x_1=x_2, οπότε πράγματι η f(x) είναι 1-1, άρα ορίζεται η αντίστροφή της.

Έστω f(x)=y. Τότε:

y=\sqrt[3]{8-x^3}, με y \geqslant 0.

\Rightarrow y^3=8-x^3 \Rightarrow x^3=8-y^3, άρα

\displaystyle x=\begin{cases} \sqrt[3]{8-y^3} \,\, \textnormal{\gr με } \,\, 0 \leqslant y \leqslant 2 \\ -\sqrt[3]{y^3-8} \,\, \textnormal{\gr με} \,\, y \geqslant 2 \end{cases}.

Άρα η αντίστροφη της συνάρτησης f(x)=\sqrt[3]{8-x^3} είναι η συνάρτηση:

\displaystyle f^{-1}(x)= \begin{cases} \sqrt[3]{8-x^3} \,\, \textnormal{\gr με} \,\, 0 \leqslant x \leqslant 2 \\ -\sqrt[3]{x^3-8} \,\, \textnormal{\gr με} \,\, x \geqslant 2 \end{cases}.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Σύνθεση και αντίστροφη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Πέμ Αύγ 31, 2017 4:05 pm

:coolspeak:


Γιώργος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης