Παράγωγος αντίστροφης

Γιώργος Μήτσιος · #1

Γεια σας. Καλή σχολική χρονιά σε όλους !
Ας θεωρήσουμε την συνάρτηση

με $f\left ( x \right )=6x^{5}-15x^{4}+10x^3 .. x\in \mathbb{R}$

1) Να δειχθεί ότι ορίζεται η αντίστροφη της

και να λυθεί η εξίσωση $f\left ( x \right )=f^{-1}\left ( x \right )$

2) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της παραγώγου της $f^{-1}$ .

Γ Λυκείου .. έως 11/9/17.. Ευχαριστώ , Γιώργος

Γιώργος Μήτσιος · #2

Επαναφορά για όλους.Θα με ενδιέφερε , κυρίως , η προσέγγισή σας στο β΄ ερώτημα..

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Νομίζω οτι η άσκηση είναι προβληματική για μαθητές.

Για το 1) πρέπει να λυθεί η εξίσωση $6x^{3}-9x^{2}+x+1=0$

Δεν βλέπω πως μπορεί να λυθεί με έναν τρόπο προσιτό σε μαθητές.

Για το 2) και με βάση αυτά που ξέρουν οι μαθητές στην ουσία το ερώτημα είναι

''Αν η $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ικανοποιεί την
$6g^{5}(x)-15g^{4}(x)+10g^{3}(x)=x$
να βρεθεί σε ποια σημεία παραγωγίζεται"

Θεωρώ το ερώτημα πολύ δύσκολο χωρίς χρήση θεωρημάτων.Φυσικά τα θεωρήματα αυτά δεν είναι
στην ύλη του Λυκείου.

sot arm · #4

Διαισθητικά για το β ,
Αφού η f είναι παντού παραγωγίσιμη ως πολυώνυμο δέχεται παντού εφαπτομένη άρα λόγω συμμετρίας και η αντίστροφη δέχεται παντού εφαπτομένη, για να μην είναι παραγωγίσιμη η αντίστροφη πρέπει η εφαπτομένη να είναι κατακόρυφη άρα και η εφαπτομένη της f στο συμμετρικό σημείο να είναι, λόγω συμετρίας, οριζόντια
από όπου προκύπτει ότι η $f^{-1}$ δεν είναι παραγωγίσιμη μόνο για x=0,1

πρακτικά τώρα, ένας μαθητής λυκείου δεν πιστεύω ότι μπορεί να το εξηγήσει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

sot arm έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 16, 2017 11:50 pm
Διαισθητικά για το β ,
Αφού η f είναι παντού παραγωγίσιμη ως πολυώνυμο δέχεται παντού εφαπτομένη άρα λόγω συμμετρίας και η αντίστροφη δέχεται παντού εφαπτομένη, για να μην είναι παραγωγίσιμη η αντίστροφη πρέπει η εφαπτομένη να είναι κατακόρυφη άρα και η εφαπτομένη της f στο συμμετρικό σημείο να είναι, λόγω συμετρίας, οριζόντια
από όπου προκύπτει ότι η $f^{-1}$ δεν είναι παραγωγίσιμη μόνο για
πρακτικά τώρα, ένας μαθητής λυκείου δεν πιστεύω ότι μπορεί να το εξηγήσει.

Σωτήρη το έγραψες πολύ καλά.
Το τι είναι απόδειξη είναι κάτι το υποκειμενικό.
Για μένα για το Λύκειο είναι απόδειξη.Για το πανεπιστήμιο δεν είναι.
Βέβαια με τα σημερινά δεδομένα (αν έχω καταλάβει) για πανελλήνιες δεν αποτελεί απόδειξη.

#6

Για το 1) επειδή η

είναι γνησίως αύξουσα τα κοινά σημεία της γραφικής της παράστασης με τη γραφική παράσταση της αντίστροφης,

βρίσκονται πάνω στην ευθεία y=x.

Αρκεί λοιπόν να λύσουμε την εξίσωση f(x)=x,

απ' όπου με Horner βγαίνει:

$\displaystyle x(x - 1)(2x - 1)(3{x^2} - 3x - 1) = 0$

Γιώργος Μήτσιος · #7

Καλή Κυριακή σε όλους. Σταύρο ,Σωτήρη και Γιώργο σας ευχαριστώ!
Να ευχηθώ στον Σταύρο ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ , πάντοτε υγιής και δημιουργικός!

Για το α΄ όπως έδειξε και ο Γιώργος , η ζητούμενη εξίσωση έχει

ρίζες τις : x_1=0..x_2=1/2..x_3=1

και $x_4,_5=\left ( 3\pm \sqrt{21} \right )/6$ .

Για την εξίσωση $6x^{3}-9x^{2}+x+1=0$ -στους μαθητές που δεν γνωρίζουν το σχήμα Horner- μπορούμε να κάνουμε τις , παράξενες αρχικά σ' αυτούς

διασπάσεις $6x^{3}-3x^{2}-6x^{2}+3x-2x+1=0$ $\Leftrightarrow 3x^{2}\left ( 2x-1 \right )-3x\left ( 2x-1 \right )-(\left 2x-1 \right )=0 ...$

Για το β΄ερώτημα να πω προς το παρόν ότι είχα στο νου , πριν την δημοσίευση του θέματος , ακριβώς την ''Γεωμετρική ερμηνεία'' που έγραψε ο Σωτήρης !
προτίθεμαι να επανέλθω και να γράψω κάποιες ακόμη σκέψεις σχετικά...
Φιλικά Γιώργος

sot arm · #8

Μία επαρκή , ελπίζω αλγεβρική αιτιολόγηση για το β:
Έστω τυχαίο $x_{0} \in R$ τέτοιο ώστε:
$\displaystyle{f'(f^{-1}(x_{0}))\neq 0 \Leftrightarrow f'(f^{-1}(x_{0}))=l >0 , l\in \mathbb{R}}$
αφού η f είναι παραγωγίσιμη σε όλο το σύνολο των πραγματικών είναι και στο $A(f^{-1}(x_{0}),f(f^{-1}(x_{0}))$ με:
$\displaystyle{f'(f^{-1}(x_{0}))=\lim_{x\rightarrow f^{-1}(x_{0})}\frac{f(x)-f(f^{-1}(x_{0}))}{x-f^{-1}(x_{0})}=\lim_{x\rightarrow f^{-1}(x_{0})}\frac{f(x)-x_{0}}{x-f^{-1}(x_{0})}} (1)$
Δουλεύουμε τώρα με τον ορισμό της παραγώγου για την αντίστροφη:

$\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{-1}(x)-f^{-1}(x_{0})}{x-x_{0}} (2)}$

θέτουμε:
$\displaystyle{x=f(u)\Leftrightarrow u=f^{-1}(x), \lim_{x\rightarrow x_{0}}f^{-1}(x)=f^{-1}(x_{0}) \Leftrightarrow u\rightarrow f^{-1}(x_{0})}$
σε αυτό το βήμα χρειάζεται η συνέχεια της αντίστροφης κάτι που βγαίνει με αρκετές πράξεις από την σχέση που αναγράφει ο κ. Σταύρος, τώρα η (2) γράφεται:
$\displaystyle{(2)=\lim_{u\rightarrow f^{-1}(x_{0})}\frac{u-f^{-1}(x_{0})}{f^{-1}(u)-x_{0}}=\lim_{x\rightarrow f^{-1}(x_{0})}\frac{x-f^{-1}(x_{0})}{f^{-1}(x)-x_{0}}=\frac{1}{l} \in \mathbb{R}}$
Όπου υπήρξε αλλαγή συμβολισμού και χρησιμοποιήθηκε η (1).
Η υπόθεση που έγινε στην αρχή ισχύει για κάθε $x_{0}\neq 0,-1$
τώρα το ζητούμενο νομίζω έχει δειχθεί , μένει η απόδειξη της συνέχειας της αντίστροφης, ελπίζω να μην έχω κάποιο σφάλμα ή απροσεξία.

Γιώργος Μήτσιος · #9

Επανέρχομαι.. Ευχαριστώ θερμά (και πάλι) τον Σωτήρη για το ενδιαφέρον του, τον κόπο και τον χρόνο που διέθεσε για το παρόν θέμα
Για το α΄ερώτημα να πω μόνο για την ύπαρξη της αντίστροφης : Βρίσκουμε $f'\left ( x \right )=30x^{2}\left ( x-1 \right )^{2}\geq 0$ ενώ $f'\left ( \left x\right )=0\Leftrightarrow x=0..\eta ..x=1$ . Έπεται ότι η

ειναι γν. αύξουσα στο $\mathbb{R}$ και 1-1

οπότε ορίζεται η αντίστροφη με πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της

, που εύκολα βρίσκουμε ότι είναι όλο το $\mathbb{R}$ .
Η λύση της εξίσωσης έχει ήδη δοθεί. Γίνεται ,νομίζω φανερό πως το α΄ερώτημα μπορεί να απαντηθεί -χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία- από διαβασμένους μαθητές .

Για το β΄ θα επιμείνω (και θα επαναλάβω με παρόμοια λόγια ) την πρώτη προσέγγιση του Σωτήρη , ελπίζοντας να γίνει κατανοητή από περισσότερους μαθητές.
Η πρόταση (που δεν είδα κάπου σε σχολικό) και κάνουμε χρήση της είναι :

Αν η ευθεία $\varepsilon$ εφάπτεται της καμπύλης και $\varepsilon',C'$ οι συμμετρικές τους ως προς ευθεία-άξονα $\delta$
τότε και η ευθεία $\varepsilon'$ είναι εφαπτομένη της καμπύλης .
Για την αλήθεια αυτής της πρότασης ήθελα εξ΄αρχής να ζητήσω τη γνώμη (ή τη γνώση!) μελών-φίλων του

Έστω

η αντίστροφη της

οπότε $\delta : y=x$ ο άξονας συμμετρίας τους. Θεωρούμε το σημείο $A\left ( n,m \right )\in C_{g}$ , όπου η

δεν παραγωγίζεται.
Όμως η

παραγωγίζεται άρα δέχεται εφαπτομένη παντού , συνεπώς λόγω της παραπάνω πρότασης και η

δέχεται παντού εφαπτομένη. Τότε στο

έχουμε την x=n

ως κατακόρυφη εφαπτομένη της $C_{g}$ , επομένως η y=n

είναι οριζόντια εφαπτομένη της $C_{f}$ . Είναι φανερό ότι η $C_{f}$ δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στα $O\left ( 0,0 \right ), M(\left 1,1 \right )$ που ανήκουν προφανώς στην διχοτόμο $\delta : y=x$ άρα και στην $C_{g}$ .
Άρα n=0

ή

που σημαίνει ότι η

δεν παραγωγίζεται μόνο στα 0,1

, ενώ ορίζεται στο $\mathbb{R}$ οπότε το Π.Ο της παραγώγου της είναι το $\mathbb{R}$ πλην των {0,1}

.

Συναδελφικά και φιλικά , Γιώργος

#10

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 07, 2017 2:25 pm
Γεια σας. Καλή σχολική χρονιά σε όλους !
Ας θεωρήσουμε την συνάρτηση με $f\left ( x \right )=6x^{5}-15x^{4}+10x^3 .. x\in \mathbb{R}$

1) Να δειχθεί ότι ορίζεται η αντίστροφη της και να λυθεί η εξίσωση $f\left ( x \right )=f^{-1}\left ( x \right )$

2) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της παραγώγου της $f^{-1}$ .

Γ Λυκείου .. έως 11/9/17.. Ευχαριστώ , Γιώργος

Χαιρετώ όλη την εκλεκτή παρέα και εύχομαι καλή σχολική χρονια !

Σχετικά με το θέμα αυτό έχω αρκετές φορές πει την άποψή μου. Η αντιμετώπιση με συμμετρία και τη γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου είναι πλήρης για τα σχολικά δεδομένα.
Σχετικά έχω γράψει στα :

viewtopic.php?f=53&t=42227&p=197612&hil ... B1#p197612

αλλά και στην πρώτη σελίδα του ίδιου θέματος. Θα προσπαθήσω να βρω και άλλο σύνδεσμο.

Σας χαιρετώ !!!

Παράγωγος αντίστροφης

Παράγωγος αντίστροφης

Re: Παράγωγος αντίστροφης

Re: Παράγωγος αντίστροφης

Re: Παράγωγος αντίστροφης

Re: Παράγωγος αντίστροφης

Re: Παράγωγος αντίστροφης

Re: Παράγωγος αντίστροφης

Re: Παράγωγος αντίστροφης

Re: Παράγωγος αντίστροφης

Re: Παράγωγος αντίστροφης

Μέλη σε σύνδεση