Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Συντονιστής: polysot
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 10065
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Αρχίζω ένα θρεντ με ασκήσεις σχετικά με άρτιους και περιττούς αριθμούς.
Απευθύνομαι μόνο στους μαθητές.
Οι ασκήσεις είναι προσιτές αλλά όχι πανεύκολες. Προορίζονται για τα παιδιά
που βρίσκονται στις πρώτες φάσεις προετοιμασίας για διαγωνισμούς, επιπέδου Γυμνασίου.
Η ιδέα είναι να υπάρχουν συγκεντρωμένες σε έναν τόπο ασκήσεις σχετικές με μονά, ζυγά και
παρεμφερή. Στις ασκήσεις αυτές σε κάποιο βήμα θα υπάρχει επιχείρημα της μορφής "αφού
το άθροισμα δύο περιττών είναι άρτιος ... " ή παρόμοια.
Απευθύνομαι μόνο στους μαθητές.
Οι ασκήσεις είναι προσιτές αλλά όχι πανεύκολες. Προορίζονται για τα παιδιά
που βρίσκονται στις πρώτες φάσεις προετοιμασίας για διαγωνισμούς, επιπέδου Γυμνασίου.
Η ιδέα είναι να υπάρχουν συγκεντρωμένες σε έναν τόπο ασκήσεις σχετικές με μονά, ζυγά και
παρεμφερή. Στις ασκήσεις αυτές σε κάποιο βήμα θα υπάρχει επιχείρημα της μορφής "αφού
το άθροισμα δύο περιττών είναι άρτιος ... " ή παρόμοια.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 10065
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Άσκηση 1. Εργαζόμαστε σε ένα σύστημα αρίθμησης με περιττή βάση (π.χ.


συνηθισμένο μας

περιττός αν και μόνον αν έχει περιττό πλήθος από περιττά ψηφία.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1219
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Καλημέρα κύριε Μιχάλη.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τετ Ιαν 03, 2018 12:05 pm
Άσκηση 1. Εργαζόμαστε σε ένα σύστημα αρίθμησης με περιττή βάση (π.χ.ή
αλλά όχι το
συνηθισμένο μας). Δείξτε ότι ένας φυσικός αριθμός σε αυτό το σύστημα αρίθμησης είναι
περιττός αν και μόνον αν έχει περιττό πλήθος από περιττά ψηφία.
Έστω


Eίναι

Ευθύ : Έστω ότι ο

Έστω



Τότε, από τα γινόμενα της μορφής





Έτσι, πρέπει το άθροισμα των


Αν τώρα ο

Άρα,

Αντίστροφο : Έστω ότι ο

Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 10065
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Μία πολύ απλή, για χάρη πληρότητας:
Άσκηση 2. Κάθε δωμάτιο σε ένα σπίτι έχει άρτιο πλήθος από πόρτες. Δείξτε ότι οι εξωτερικές πόρτες του σπιτίου είναι άρτιου πλήθους.
Άσκηση 2. Κάθε δωμάτιο σε ένα σπίτι έχει άρτιο πλήθος από πόρτες. Δείξτε ότι οι εξωτερικές πόρτες του σπιτίου είναι άρτιου πλήθους.
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1330
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Άσκηση Νο 3 Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Ένα θέμα για τη συλλογή ασκήσεων που "άνοιξε" ο Μιχάλης σε σχέση με τα "μονά-ζυγά".
Βέβαια, να παρατηρήσω ότι και ο μόνο ο τίτλος "μονά-ζυγά" μας υποψιάζει για το πώς θα μπορούσε να λυθεί ένα θέμα αυτής της συλλογής.
Αλλά το βασικό είναι η διασκέδαση με τέτοιες ασκήσεις. Και στο κάτω-κάτω δεν μας βλάπτει και μια υπόδειξη.
Λοιπόν,
Άσκηση Νο 3.
Να αποδειχθεί ότι πάρουμε 5 οποιαδήποτε σημεία που βρίσκονται σε σημεία πλέγματος (σημεία με συντεταγμένες ακέραιες),
τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ζεύγος σημείων πού το μέσον του ευθύγραμμου τμήματός τους είναι και αυτό σημείο του πλέγματος.
Βέβαια, να παρατηρήσω ότι και ο μόνο ο τίτλος "μονά-ζυγά" μας υποψιάζει για το πώς θα μπορούσε να λυθεί ένα θέμα αυτής της συλλογής.
Αλλά το βασικό είναι η διασκέδαση με τέτοιες ασκήσεις. Και στο κάτω-κάτω δεν μας βλάπτει και μια υπόδειξη.

Λοιπόν,
Άσκηση Νο 3.
Να αποδειχθεί ότι πάρουμε 5 οποιαδήποτε σημεία που βρίσκονται σε σημεία πλέγματος (σημεία με συντεταγμένες ακέραιες),
τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ζεύγος σημείων πού το μέσον του ευθύγραμμου τμήματός τους είναι και αυτό σημείο του πλέγματος.
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Αρκεί να δείξουμε ότι από ταΑνδρέας Πούλος έγραψε: ↑Παρ Ιαν 05, 2018 10:07 amΈνα θέμα για τη συλλογή ασκήσεων που "άνοιξε" ο Μιχάλης σε σχέση με τα "μονά-ζυγά".
Βέβαια, να παρατηρήσω ότι και ο μόνο ο τίτλος "μονά-ζυγά" μας υποψιάζει για το πώς θα μπορούσε να λυθεί ένα θέμα αυτής της συλλογής.
Αλλά το βασικό είναι η διασκέδαση με τέτοιες ασκήσεις. Και στο κάτω-κάτω δεν μας βλάπτει και μια υπόδειξη.![]()
Λοιπόν,
Να αποδειχθεί ότι πάρουμε 5 οποιαδήποτε σημεία που βρίσκονται σε σημεία πλέγματος (σημεία με συντεταγμένες ακέραιες),
τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ζεύγος σημείων πού το μέσον του ευθύγραμμου τμήματός τους είναι και αυτό σημείο του πλέγματος.









Για ένα σημείο


τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Παρ Ιαν 05, 2018 3:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Γραφή σε LaTeX
Λόγος: Γραφή σε LaTeX
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1330
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Άσκηση Νο4. Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
ΑΣΚΗΣΗ 4η.
Με τα ψηφία από το 1 έως και το 7 γράφουμε όλους τους επταψήφιους φυσικούς αριθμούς.
Για κάθε τέτοιον επταψήφιο χρησιμοποιούμε τα ψηφία 1 έως και 7 μόνο μία φορά.
Προσθέτουμε όλους αυτούς τους αριθμούς.
Ο αριθμός που θα προκύψει είναι μονός ή ζυγός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Με τα ψηφία από το 1 έως και το 7 γράφουμε όλους τους επταψήφιους φυσικούς αριθμούς.
Για κάθε τέτοιον επταψήφιο χρησιμοποιούμε τα ψηφία 1 έως και 7 μόνο μία φορά.
Προσθέτουμε όλους αυτούς τους αριθμούς.
Ο αριθμός που θα προκύψει είναι μονός ή ζυγός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Re: Άσκηση Νο4. Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Το πλήθος των επταψήφιων αριθμών με ψηφία ταΑνδρέας Πούλος έγραψε: ↑Παρ Ιαν 05, 2018 10:38 pmΑΣΚΗΣΗ 4η.
Με τα ψηφία από το 1 έως και το 7 γράφουμε όλους τους επταψήφιους φυσικούς αριθμούς.
Για κάθε τέτοιον επταψήφιο χρησιμοποιούμε τα ψηφία 1 έως και 7 μόνο μία φορά.
Προσθέτουμε όλους αυτούς τους αριθμούς.
Ο αριθμός που θα προκύψει είναι μονός ή ζυγός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.







-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 10065
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Ωραία λύση (*). Μπράβο.sokpanvas έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 06, 2018 3:08 pmΤο πλήθος των επταψήφιων αριθμών με ψηφία ταΑνδρέας Πούλος έγραψε: ↑Παρ Ιαν 05, 2018 10:38 pmΑΣΚΗΣΗ 4η.
Με τα ψηφία από το 1 έως και το 7 γράφουμε όλους τους επταψήφιους φυσικούς αριθμούς.
Για κάθε τέτοιον επταψήφιο χρησιμοποιούμε τα ψηφία 1 έως και 7 μόνο μία φορά.
Προσθέτουμε όλους αυτούς τους αριθμούς.
Ο αριθμός που θα προκύψει είναι μονός ή ζυγός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.είναι
. Εφόσον οι περιττοί από το
μέχρι το
είναι
, από τους
οι
είναι περιττοί. Άρα έχουμε άρτιο πλήθος περιττών οπότε το άθροισμα των αριθμών θα είναι άρτιος.
Ας δούμε μία διαφορετική, χωρίς μέτρημα.
Ζευγαρώνουμε τους αριθμούς σύμφωνα με τον κανόνα "συμπληρώνω κάθε ψηφίο μέχρι να γίνει





Έτσι το άθροισμα των αριθμών οποιουδήποτε ζεύγους είναι

Όλοι οι αριθμοί ζευγαρώνονται με ακριβώς έναν άλλο από το ίδιο σύνολο.
Το άθροισμα που ζητάμε αναδιατάσσεται ως "άθροισμα ζευγών" και άρα είναι άρτιο ως άθροισμα άρτιων.
Ακόμα καλύτερα, είναι πολλαπλάσιο του


(*) Το μόνο σχόλιο που έχω είναι ότι δεν χρειάζεται η πληροφορία για το πλήθος

Edit: Διόρθωσα ένα σφάλμα (βλέπε παρακάτω στο ποστ του Δημήτρη) όπου άθροιζα αριθμό με επανάληψη ψηφίων. Ευτυχώς η απόδειξη σώζεται σχεδόν αυτολεξί.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Σάβ Ιαν 06, 2018 8:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 7732
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Μιχάλη, οMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 06, 2018 4:45 pmΤο άθροισμα που ζητάμε αναδιατάσσεται ως "άθροισμα ζευγών" συν "μία φορά τον", πάντως είναι άρτιο ως άθροισμα άρτιων. Ακόμα καλύτερα, είναι πολλαπλάσιο του
. (Μπορούμε εύκολα να βρούμε ακριβώς το άθροισμα, είναι
, αλλά δεν το ζητάει η άσκηση).


Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
ΟνομάζουμεMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τετ Ιαν 03, 2018 2:52 pmΜία πολύ απλή, για χάρη πληρότητας:
Άσκηση 2. Κάθε δωμάτιο σε ένα σπίτι έχει άρτιο πλήθος από πόρτες. Δείξτε ότι οι εξωτερικές πόρτες του σπιτίου είναι άρτιου πλήθους.





Ονομάζουμε επίσης


Έστω ότι




-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 10065
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Δημήτρη, έχεις δίκιο

Ε Υ Χ Α Ρ Ι Σ Τ Ω
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 7732
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Διαφορετικά:sokpanvas έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 06, 2018 7:24 pmΟνομάζουμεMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τετ Ιαν 03, 2018 2:52 pmΜία πολύ απλή, για χάρη πληρότητας:
Άσκηση 2. Κάθε δωμάτιο σε ένα σπίτι έχει άρτιο πλήθος από πόρτες. Δείξτε ότι οι εξωτερικές πόρτες του σπιτίου είναι άρτιου πλήθους.τα δωμάτια και
τoν αριθμό των πορτών του
,
toν αριθμό των πορτών του
κ.ο.κ
Ονομάζουμε επίσηςτον αριθμό των εσωτερικών πορτών(δηλαδή αυτών που ενώνουν τα δωμάτια μεταξύ τους) και
τον αριθμό των εξωτερικών πορτών(δηλαδή αυτών που ενώνουν το κάθε δωμάτιο με το εξωτερικό του σπιτιού).
Έστω ότιτότε
και
άρα
άρτιος.
Σε κάθε μεριά κάθε πόρτας βάζουμε ένα σημάδι. Συνολικά βάλαμε άρτιο αριθμό από σημάδια. Σε κάθε δωμάτιο του σπιτιού επίσης βλέπουμε άρτιο αριθμό από σημάδια. Άρα και στην εξωτερική πλευρά του σπιτιού βλέπουμε άρτιο αριθμό από σημάδια. Δηλαδή το σπίτι έχει άρτιο πλήθος από εξωτερικές πόρτες.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 10065
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
H παρακάτω είναι ουσιαστικά ίδια με την Άσκηση 2 αλλά είναι ντυμένη αλλιώς. Την γράφω μόνο και μόνο
για να δει ο καθένας την ομοιότητα των δύο ασκήσεων. Ας δούμε όμως την λύση, ανεξάρτητα.
Άσκηση 5. Δείξτε ότι το πλήθος των ατόμων που έχει δώσει περιττό αριθμό χειραψιών είναι άρτιος αριθμός.
για να δει ο καθένας την ομοιότητα των δύο ασκήσεων. Ας δούμε όμως την λύση, ανεξάρτητα.
Άσκηση 5. Δείξτε ότι το πλήθος των ατόμων που έχει δώσει περιττό αριθμό χειραψιών είναι άρτιος αριθμός.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 10065
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Άσκηση 6. Έστω



- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1219
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Ευθύ: Έστω ότιMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 06, 2018 9:17 pm
Άσκηση 6. Έστωφυσικός αριθμός. Δείξτε ότι ο
είναι άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων αν και μόνον αν ο
είναι άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων.


Τότε, από την ταυτότητα



Αντίστροφο: Έστω


Είναι λοιπόν




Αν είναι και οι δύο περιττοί, τότε



Αν είναι ο ένας άρτιος, και ο άλλος περιττός, το άθροισμά τους είναι περιττός, μη διαιρετός με το

Άρα,


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 658
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Κάθε χειραψία που πραγματοποιείται μετρά στο πλήθος των χειραψιών δύο διαφορετικών ατόμων. Επομένως το άθροισμαMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 06, 2018 9:14 pm
Άσκηση 5. Δείξτε ότι το πλήθος των ατόμων που έχει δώσει περιττό αριθμό χειραψιών είναι άρτιος αριθμός.

Προφανώς το άθροισμα

Αν το πλήθος των ατόμων που έχουν δώσει περιττό αριθμό χειραψιών είναι περιττός αριθμός, τότε το άθροισμα

Άρα το συνολικό άθροισμα

Houston, we have a problem!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 10065
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Μία απλή.
Άσκηση 6. Δείξτε ότι δεν υπάρχουν περιττοί φυσικοί αριθμοί
με (a+b)^2+(a+c)^2=(b+c)^2.
Βρείτε ωστόσο παράδειγμα τέτοιας ισότητας με δύο περιττούς και έναν άρτιο.
Άσκηση 6. Δείξτε ότι δεν υπάρχουν περιττοί φυσικοί αριθμοί

Βρείτε ωστόσο παράδειγμα τέτοιας ισότητας με δύο περιττούς και έναν άρτιο.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1219
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Καλημέρα.Άσκηση 6. Δείξτε ότι δεν υπάρχουν περιττοί φυσικοί αριθμοίμε
Βρείτε ωστόσο παράδειγμα τέτοιας ισότητας με δύο περιττούς και έναν άρτιο
Έστω ότι υπάρχουν περιττοί


Μετά τις πράξεις η (1) γράφεται



Αφού





Ένα παράδειγμα με δύο περιττούς και έναν άρτιο, είναι

Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 10065
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Άσκηση 7. Δίνονται
το πλήθος αριθμοί
ο καθένας από τους οποίους είναι
.
Αν
, δείξτε ότι ο
είναι πολλαπλάσιο του
.



Αν



Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης