Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

[Mihalis_Lambrou]

Αρχίζω ένα θρεντ με ασκήσεις σχετικά με άρτιους και περιττούς αριθμούς.

Απευθύνομαι μόνο στους μαθητές.

Οι ασκήσεις είναι προσιτές αλλά όχι πανεύκολες. Προορίζονται για τα παιδιά
που βρίσκονται στις πρώτες φάσεις προετοιμασίας για διαγωνισμούς, επιπέδου Γυμνασίου.

Η ιδέα είναι να υπάρχουν συγκεντρωμένες σε έναν τόπο ασκήσεις σχετικές με μονά, ζυγά και
παρεμφερή. Στις ασκήσεις αυτές σε κάποιο βήμα θα υπάρχει επιχείρημα της μορφής "αφού
το άθροισμα δύο περιττών είναι άρτιος ... " ή παρόμοια.

[Mihalis_Lambrou]

Άσκηση 1. Εργαζόμαστε σε ένα σύστημα αρίθμησης με περιττή βάση (π.χ. ή αλλά όχι το
συνηθισμένο μας ). Δείξτε ότι ένας φυσικός αριθμός σε αυτό το σύστημα αρίθμησης είναι
περιττός αν και μόνον αν έχει περιττό πλήθος από περιττά ψηφία.

[Ορέστης Λιγνός]

Άσκηση 1. Εργαζόμαστε σε ένα σύστημα αρίθμησης με περιττή βάση (π.χ. ή αλλά όχι το
συνηθισμένο μας ). Δείξτε ότι ένας φυσικός αριθμός σε αυτό το σύστημα αρίθμησης είναι
περιττός αν και μόνον αν έχει περιττό πλήθος από περιττά ψηφία.

Καλημέρα κύριε Μιχάλη.

Έστω ο αριθμός με περιττή βάση .

Eίναι .

Ευθύ : Έστω ότι ο είναι περιττός, θα αποδείξουμε ότι έχει περιττό πλήθος περιττών ψηφίων.

Έστω το πλήθος των περιττών ψηφίων του , και το πλήθος των άρτιων ψηφίων του.

Τότε, από τα γινόμενα της μορφής με ακριβώς από αυτά είναι περιττοί, και τα υπόλοιπα άρτιοι (αφού ο είναι περιττός).

Έτσι, πρέπει το άθροισμα των περιττών γινομένων να είναι περιττός, αφού ο είναι περιττός.

Αν τώρα ο είναι άρτιος, το άθροισμα των άρτιων σε πλήθος περιττών δίνει αποτέλεσμα άρτιο, άτοπο.

Άρα, περιττός, δηλαδή υπάρχει περιττό πλήθος περιττών.

Αντίστροφο : Έστω ότι ο έχει περιττό πλήθος περιττών ψηφίων. Εφαρμόζουμε την παραπάνω διαδικασία από την ανάποδη φορά.

[Mihalis_Lambrou]

Μία πολύ απλή, για χάρη πληρότητας:


Άσκηση 2. Κάθε δωμάτιο σε ένα σπίτι έχει άρτιο πλήθος από πόρτες. Δείξτε ότι οι εξωτερικές πόρτες του σπιτίου είναι άρτιου πλήθους.

[Ανδρέας Πούλος]

Ένα θέμα για τη συλλογή ασκήσεων που "άνοιξε" ο Μιχάλης σε σχέση με τα "μονά-ζυγά".
Βέβαια, να παρατηρήσω ότι και ο μόνο ο τίτλος "μονά-ζυγά" μας υποψιάζει για το πώς θα μπορούσε να λυθεί ένα θέμα αυτής της συλλογής.
Αλλά το βασικό είναι η διασκέδαση με τέτοιες ασκήσεις. Και στο κάτω-κάτω δεν μας βλάπτει και μια υπόδειξη.

Λοιπόν,
Άσκηση Νο 3.

Να αποδειχθεί ότι πάρουμε 5 οποιαδήποτε σημεία που βρίσκονται σε σημεία πλέγματος (σημεία με συντεταγμένες ακέραιες),
τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ζεύγος σημείων πού το μέσον του ευθύγραμμου τμήματός τους είναι και αυτό σημείο του πλέγματος.

[sokpanvas]

Ένα θέμα για τη συλλογή ασκήσεων που "άνοιξε" ο Μιχάλης σε σχέση με τα "μονά-ζυγά".
Βέβαια, να παρατηρήσω ότι και ο μόνο ο τίτλος "μονά-ζυγά" μας υποψιάζει για το πώς θα μπορούσε να λυθεί ένα θέμα αυτής της συλλογής.
Αλλά το βασικό είναι η διασκέδαση με τέτοιες ασκήσεις. Και στο κάτω-κάτω δεν μας βλάπτει και μια υπόδειξη.

Λοιπόν,
Να αποδειχθεί ότι πάρουμε 5 οποιαδήποτε σημεία που βρίσκονται σε σημεία πλέγματος (σημεία με συντεταγμένες ακέραιες),
τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ζεύγος σημείων πού το μέσον του ευθύγραμμου τμήματός τους είναι και αυτό σημείο του πλέγματος.

Αρκεί να δείξουμε ότι από τα υπάρχουν σημεία και τέτοια ώστε δηλαδή πρέπει τα και να είναι και οι δύο άρτιοι ή και οι δύο περιττοί (αντίστοιχα και τα και )
Για ένα σημείο με ακέραιες συντεταγμένες έχουμε τις εξείς περιπτώσεις 1)Γ(περιττός,άρτιος) 2) Γ(περιττός , περιττός) 3)Γ (άρτιος, περιττός) 4) Γ(άρτιος , άρτιος). Εφόσον έχουμε σημεία απο την αρχή του περιστερώνα τουλάχιστον δυο θα έχουν για μέσο ένα σημείο με ακέραιες συντεταγμένες

[Ανδρέας Πούλος]

ΑΣΚΗΣΗ 4η.

Με τα ψηφία από το 1 έως και το 7 γράφουμε όλους τους επταψήφιους φυσικούς αριθμούς.
Για κάθε τέτοιον επταψήφιο χρησιμοποιούμε τα ψηφία 1 έως και 7 μόνο μία φορά.
Προσθέτουμε όλους αυτούς τους αριθμούς.
Ο αριθμός που θα προκύψει είναι μονός ή ζυγός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

[sokpanvas]

ΑΣΚΗΣΗ 4η.

Με τα ψηφία από το 1 έως και το 7 γράφουμε όλους τους επταψήφιους φυσικούς αριθμούς.
Για κάθε τέτοιον επταψήφιο χρησιμοποιούμε τα ψηφία 1 έως και 7 μόνο μία φορά.
Προσθέτουμε όλους αυτούς τους αριθμούς.
Ο αριθμός που θα προκύψει είναι μονός ή ζυγός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Το πλήθος των επταψήφιων αριθμών με ψηφία τα είναι . Εφόσον οι περιττοί από το μέχρι το είναι , από τους οι είναι περιττοί. Άρα έχουμε άρτιο πλήθος περιττών οπότε το άθροισμα των αριθμών θα είναι άρτιος.

[Mihalis_Lambrou]

ΑΣΚΗΣΗ 4η.

Με τα ψηφία από το 1 έως και το 7 γράφουμε όλους τους επταψήφιους φυσικούς αριθμούς.
Για κάθε τέτοιον επταψήφιο χρησιμοποιούμε τα ψηφία 1 έως και 7 μόνο μία φορά.
Προσθέτουμε όλους αυτούς τους αριθμούς.
Ο αριθμός που θα προκύψει είναι μονός ή ζυγός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Το πλήθος των επταψήφιων αριθμών με ψηφία τα είναι . Εφόσον οι περιττοί από το μέχρι το είναι , από τους οι είναι περιττοί. Άρα έχουμε άρτιο πλήθος περιττών οπότε το άθροισμα των αριθμών θα είναι άρτιος.

Ωραία λύση (*). Μπράβο.

Ας δούμε μία διαφορετική, χωρίς μέτρημα.

Ζευγαρώνουμε τους αριθμούς σύμφωνα με τον κανόνα "συμπληρώνω κάθε ψηφίο μέχρι να γίνει ". Εννοώ, το ταίρι του επταψήφιου
είναι ο επταψήφιος . Για παράδειγμα του είναι ο .

Έτσι το άθροισμα των αριθμών οποιουδήποτε ζεύγους είναι (άρτιος).

Όλοι οι αριθμοί ζευγαρώνονται με ακριβώς έναν άλλο από το ίδιο σύνολο.

Το άθροισμα που ζητάμε αναδιατάσσεται ως "άθροισμα ζευγών" και άρα είναι άρτιο ως άθροισμα άρτιων.

Ακόμα καλύτερα, είναι πολλαπλάσιο του . (Μπορούμε εύκολα να βρούμε ακριβώς το άθροισμα, είναι , αλλά δεν το ζητάει η άσκηση).



(*) Το μόνο σχόλιο που έχω είναι ότι δεν χρειάζεται η πληροφορία για το πλήθος

Edit: Διόρθωσα ένα σφάλμα (βλέπε παρακάτω στο ποστ του Δημήτρη) όπου άθροιζα αριθμό με επανάληψη ψηφίων. Ευτυχώς η απόδειξη σώζεται σχεδόν αυτολεξί.

[Demetres]

Το άθροισμα που ζητάμε αναδιατάσσεται ως "άθροισμα ζευγών" συν "μία φορά τον ", πάντως είναι άρτιο ως άθροισμα άρτιων. Ακόμα καλύτερα, είναι πολλαπλάσιο του . (Μπορούμε εύκολα να βρούμε ακριβώς το άθροισμα, είναι , αλλά δεν το ζητάει η άσκηση).

Μιχάλη, ο δεν εμφανίζεται. (Έχουμε διαφορετικά ψηφία.) Βέβαια δεν αλλάζει κάτι ουσιαστικό στην λύση σου αφού ο τυγχάνει να είναι άρτιος. Το άθροισμα που δίνεις είναι σωστό.

[sokpanvas]

Μία πολύ απλή, για χάρη πληρότητας:


Άσκηση 2. Κάθε δωμάτιο σε ένα σπίτι έχει άρτιο πλήθος από πόρτες. Δείξτε ότι οι εξωτερικές πόρτες του σπιτίου είναι άρτιου πλήθους.

Ονομάζουμε τα δωμάτια και τoν αριθμό των πορτών του , toν αριθμό των πορτών του κ.ο.κ
Ονομάζουμε επίσης τον αριθμό των εσωτερικών πορτών(δηλαδή αυτών που ενώνουν τα δωμάτια μεταξύ τους) και τον αριθμό των εξωτερικών πορτών(δηλαδή αυτών που ενώνουν το κάθε δωμάτιο με το εξωτερικό του σπιτιού).
Έστω ότι τότε και άρα άρτιος.

[Mihalis_Lambrou]

Μιχάλη, ο δεν εμφανίζεται. (Έχουμε διαφορετικά ψηφία.) Βέβαια δεν αλλάζει κάτι ουσιαστικό στην λύση σου αφού ο τυγχάνει να είναι άρτιος. Το άθροισμα που δίνεις είναι σωστό.

Δημήτρη, έχεις δίκιο Για μια στιγμή ξεχάστηκα, και αμέλησα την υπόθεση ότι τα ψηφία είναι διαφορετικά. Ευτυχώς δεν αλλάζει τίποτα στον συλλογισμό (γίνεται μάλιστα κατά τι ευκολότερος) και στο παραπάνω ήδη έκανα την διόρθωση.

Ε Υ Χ Α Ρ Ι Σ Τ Ω

[Demetres]

Μία πολύ απλή, για χάρη πληρότητας:


Άσκηση 2. Κάθε δωμάτιο σε ένα σπίτι έχει άρτιο πλήθος από πόρτες. Δείξτε ότι οι εξωτερικές πόρτες του σπιτίου είναι άρτιου πλήθους.

Ονομάζουμε τα δωμάτια και τoν αριθμό των πορτών του , toν αριθμό των πορτών του κ.ο.κ
Ονομάζουμε επίσης τον αριθμό των εσωτερικών πορτών(δηλαδή αυτών που ενώνουν τα δωμάτια μεταξύ τους) και τον αριθμό των εξωτερικών πορτών(δηλαδή αυτών που ενώνουν το κάθε δωμάτιο με το εξωτερικό του σπιτιού).
Έστω ότι τότε και άρα άρτιος.

Διαφορετικά:

Σε κάθε μεριά κάθε πόρτας βάζουμε ένα σημάδι. Συνολικά βάλαμε άρτιο αριθμό από σημάδια. Σε κάθε δωμάτιο του σπιτιού επίσης βλέπουμε άρτιο αριθμό από σημάδια. Άρα και στην εξωτερική πλευρά του σπιτιού βλέπουμε άρτιο αριθμό από σημάδια. Δηλαδή το σπίτι έχει άρτιο πλήθος από εξωτερικές πόρτες.

[Mihalis_Lambrou]

H παρακάτω είναι ουσιαστικά ίδια με την Άσκηση 2 αλλά είναι ντυμένη αλλιώς. Την γράφω μόνο και μόνο
για να δει ο καθένας την ομοιότητα των δύο ασκήσεων. Ας δούμε όμως την λύση, ανεξάρτητα.


Άσκηση 5. Δείξτε ότι το πλήθος των ατόμων που έχει δώσει περιττό αριθμό χειραψιών είναι άρτιος αριθμός.

[Mihalis_Lambrou]

Άσκηση 6. Έστω φυσικός αριθμός. Δείξτε ότι ο είναι άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων αν και μόνον αν ο είναι άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων.

[Ορέστης Λιγνός]

Άσκηση 6. Έστω φυσικός αριθμός. Δείξτε ότι ο είναι άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων αν και μόνον αν ο είναι άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων.

Ευθύ: Έστω ότι με φυσικούς.

Τότε, από την ταυτότητα , είναι , άρα ο είναι άθροισμα τετραγώνων φυσικών.

Αντίστροφο: Έστω , τότε, .

Είναι λοιπόν . Θα δείξουμε ότι το διαιρεί τον και τον .

Αν είναι και οι δύο περιττοί, τότε και , άρα , άτοπο.

Αν είναι ο ένας άρτιος, και ο άλλος περιττός, το άθροισμά τους είναι περιττός, μη διαιρετός με το .

Άρα, . Έτσι, από (1) ό.έ.δ.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Άσκηση 5. Δείξτε ότι το πλήθος των ατόμων που έχει δώσει περιττό αριθμό χειραψιών είναι άρτιος αριθμός.

Κάθε χειραψία που πραγματοποιείται μετρά στο πλήθος των χειραψιών δύο διαφορετικών ατόμων. Επομένως το άθροισμα των χειραψιών όλων των ατόμων είναι άρτιος αριθμός (1)

Προφανώς το άθροισμα των χειραψιών που έχουν δώσει τα άτομα με άρτιο αριθμό χειραψιών είναι άρτιος αριθμός.

Αν το πλήθος των ατόμων που έχουν δώσει περιττό αριθμό χειραψιών είναι περιττός αριθμός, τότε το άθροισμα των χειραψιών τους θα είναι περιττός αριθμός.

Άρα το συνολικό άθροισμα είναι περιττός αριθμός που σύμφωνα με το (1) είναι άτοπο και το ζητούμενο έπεται.

[Mihalis_Lambrou]

Μία απλή.

Άσκηση 6. Δείξτε ότι δεν υπάρχουν περιττοί φυσικοί αριθμοί με (a+b)^2+(a+c)^2=(b+c)^2.
Βρείτε ωστόσο παράδειγμα τέτοιας ισότητας με δύο περιττούς και έναν άρτιο.

[Ορέστης Λιγνός]

Άσκηση 6. Δείξτε ότι δεν υπάρχουν περιττοί φυσικοί αριθμοί με
Βρείτε ωστόσο παράδειγμα τέτοιας ισότητας με δύο περιττούς και έναν άρτιο

Καλημέρα.

Έστω ότι υπάρχουν περιττοί με (1).

Μετά τις πράξεις η (1) γράφεται και προσθέτοντας και στα δύο μέλη, είναι .

Αφού περιττοί, και , άρα , άτοπο, αφού περιττοί.

Ένα παράδειγμα με δύο περιττούς και έναν άρτιο, είναι .

[Mihalis_Lambrou]

Άσκηση 7. Δίνονται το πλήθος αριθμοί ο καθένας από τους οποίους είναι .
Αν , δείξτε ότι ο είναι πολλαπλάσιο του .