Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10065
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 03, 2018 12:05 pm

Αρχίζω ένα θρεντ με ασκήσεις σχετικά με άρτιους και περιττούς αριθμούς.

Απευθύνομαι μόνο στους μαθητές.

Οι ασκήσεις είναι προσιτές αλλά όχι πανεύκολες. Προορίζονται για τα παιδιά
που βρίσκονται στις πρώτες φάσεις προετοιμασίας για διαγωνισμούς, επιπέδου Γυμνασίου.

Η ιδέα είναι να υπάρχουν συγκεντρωμένες σε έναν τόπο ασκήσεις σχετικές με μονά, ζυγά και
παρεμφερή. Στις ασκήσεις αυτές σε κάποιο βήμα θα υπάρχει επιχείρημα της μορφής "αφού
το άθροισμα δύο περιττών είναι άρτιος ... " ή παρόμοια.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10065
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 03, 2018 12:05 pm


Άσκηση 1. Εργαζόμαστε σε ένα σύστημα αρίθμησης με περιττή βάση (π.χ. 9 ή 11 αλλά όχι το
συνηθισμένο μας 10). Δείξτε ότι ένας φυσικός αριθμός σε αυτό το σύστημα αρίθμησης είναι
περιττός αν και μόνον αν έχει περιττό πλήθος από περιττά ψηφία.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1219
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Ιαν 03, 2018 1:27 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Ιαν 03, 2018 12:05 pm

Άσκηση 1. Εργαζόμαστε σε ένα σύστημα αρίθμησης με περιττή βάση (π.χ. 9 ή 11 αλλά όχι το
συνηθισμένο μας 10). Δείξτε ότι ένας φυσικός αριθμός σε αυτό το σύστημα αρίθμησης είναι
περιττός αν και μόνον αν έχει περιττό πλήθος από περιττά ψηφία.
Καλημέρα κύριε Μιχάλη.

Έστω \displaystyle N={\overline{a_1a_2 \ldots a_n}}_{\displaystyle (b)} ο αριθμός με περιττή βάση b.

Eίναι N=a_1b^{n-1}+a_2b^{n-2}+ \ldots +a_{n-1}b+a_n.

Ευθύ : Έστω ότι ο N είναι περιττός, θα αποδείξουμε ότι έχει περιττό πλήθος περιττών ψηφίων.

Έστω k το πλήθος των περιττών ψηφίων του N, και n-k το πλήθος των άρτιων ψηφίων του.

Τότε, από τα γινόμενα της μορφής a_ib^{n-i} με i \in \{1,2, \ldots n\} ακριβώς k από αυτά είναι περιττοί, και τα υπόλοιπα n-k άρτιοι (αφού ο b είναι περιττός).

Έτσι, πρέπει το άθροισμα των k περιττών γινομένων να είναι περιττός, αφού ο N είναι περιττός.

Αν τώρα ο k είναι άρτιος, το άθροισμα των άρτιων σε πλήθος περιττών δίνει αποτέλεσμα άρτιο, άτοπο.

Άρα, k περιττός, δηλαδή υπάρχει περιττό πλήθος περιττών.

Αντίστροφο : Έστω ότι ο N έχει περιττό πλήθος περιττών ψηφίων. Εφαρμόζουμε την παραπάνω διαδικασία από την ανάποδη φορά.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10065
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 03, 2018 2:52 pm

Μία πολύ απλή, για χάρη πληρότητας:


Άσκηση 2. Κάθε δωμάτιο σε ένα σπίτι έχει άρτιο πλήθος από πόρτες. Δείξτε ότι οι εξωτερικές πόρτες του σπιτίου είναι άρτιου πλήθους.


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1330
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Άσκηση Νο 3 Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Παρ Ιαν 05, 2018 10:07 am

Ένα θέμα για τη συλλογή ασκήσεων που "άνοιξε" ο Μιχάλης σε σχέση με τα "μονά-ζυγά".
Βέβαια, να παρατηρήσω ότι και ο μόνο ο τίτλος "μονά-ζυγά" μας υποψιάζει για το πώς θα μπορούσε να λυθεί ένα θέμα αυτής της συλλογής.
Αλλά το βασικό είναι η διασκέδαση με τέτοιες ασκήσεις. Και στο κάτω-κάτω δεν μας βλάπτει και μια υπόδειξη. :P

Λοιπόν,
Άσκηση Νο 3.

Να αποδειχθεί ότι πάρουμε 5 οποιαδήποτε σημεία που βρίσκονται σε σημεία πλέγματος (σημεία με συντεταγμένες ακέραιες),
τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ζεύγος σημείων πού το μέσον του ευθύγραμμου τμήματός τους είναι και αυτό σημείο του πλέγματος.


sokpanvas
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 31, 2017 1:53 pm

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sokpanvas » Παρ Ιαν 05, 2018 2:53 pm

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Παρ Ιαν 05, 2018 10:07 am
Ένα θέμα για τη συλλογή ασκήσεων που "άνοιξε" ο Μιχάλης σε σχέση με τα "μονά-ζυγά".
Βέβαια, να παρατηρήσω ότι και ο μόνο ο τίτλος "μονά-ζυγά" μας υποψιάζει για το πώς θα μπορούσε να λυθεί ένα θέμα αυτής της συλλογής.
Αλλά το βασικό είναι η διασκέδαση με τέτοιες ασκήσεις. Και στο κάτω-κάτω δεν μας βλάπτει και μια υπόδειξη. :P

Λοιπόν,
Να αποδειχθεί ότι πάρουμε 5 οποιαδήποτε σημεία που βρίσκονται σε σημεία πλέγματος (σημεία με συντεταγμένες ακέραιες),
τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ζεύγος σημείων πού το μέσον του ευθύγραμμου τμήματός τους είναι και αυτό σημείο του πλέγματος.
Αρκεί να δείξουμε ότι από τα 5 υπάρχουν 2 σημεία A(k,\ell) και B(m,n) τέτοια ώστε (k+m)/2,(\ell+n)/2\in \mathbb{Z} δηλαδή πρέπει τα k και m να είναι και οι δύο άρτιοι ή και οι δύο περιττοί (αντίστοιχα και τα \ell και n)
Για ένα σημείο \Gamma(x , y) με ακέραιες συντεταγμένες έχουμε τις εξείς περιπτώσεις 1)Γ(περιττός,άρτιος) 2) Γ(περιττός , περιττός) 3)Γ (άρτιος, περιττός) 4) Γ(άρτιος , άρτιος). Εφόσον έχουμε 5 σημεία απο την αρχή του περιστερώνα τουλάχιστον δυο θα έχουν για μέσο ένα σημείο με ακέραιες συντεταγμένες
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Παρ Ιαν 05, 2018 3:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Γραφή σε LaTeX


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1330
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Άσκηση Νο4. Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Παρ Ιαν 05, 2018 10:38 pm

ΑΣΚΗΣΗ 4η.

Με τα ψηφία από το 1 έως και το 7 γράφουμε όλους τους επταψήφιους φυσικούς αριθμούς.
Για κάθε τέτοιον επταψήφιο χρησιμοποιούμε τα ψηφία 1 έως και 7 μόνο μία φορά.
Προσθέτουμε όλους αυτούς τους αριθμούς.
Ο αριθμός που θα προκύψει είναι μονός ή ζυγός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.


sokpanvas
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 31, 2017 1:53 pm

Re: Άσκηση Νο4. Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sokpanvas » Σάβ Ιαν 06, 2018 3:08 pm

Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Παρ Ιαν 05, 2018 10:38 pm
ΑΣΚΗΣΗ 4η.

Με τα ψηφία από το 1 έως και το 7 γράφουμε όλους τους επταψήφιους φυσικούς αριθμούς.
Για κάθε τέτοιον επταψήφιο χρησιμοποιούμε τα ψηφία 1 έως και 7 μόνο μία φορά.
Προσθέτουμε όλους αυτούς τους αριθμούς.
Ο αριθμός που θα προκύψει είναι μονός ή ζυγός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Το πλήθος των επταψήφιων αριθμών με ψηφία τα 1,2,3,...7 είναι 7!. Εφόσον οι περιττοί από το 1 μέχρι το 7 είναι 4, από τους 7! οι 4*6!= 2880 είναι περιττοί. Άρα έχουμε άρτιο πλήθος περιττών οπότε το άθροισμα των αριθμών θα είναι άρτιος.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10065
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 06, 2018 4:45 pm

sokpanvas έγραψε:
Σάβ Ιαν 06, 2018 3:08 pm
Ανδρέας Πούλος έγραψε:
Παρ Ιαν 05, 2018 10:38 pm
ΑΣΚΗΣΗ 4η.

Με τα ψηφία από το 1 έως και το 7 γράφουμε όλους τους επταψήφιους φυσικούς αριθμούς.
Για κάθε τέτοιον επταψήφιο χρησιμοποιούμε τα ψηφία 1 έως και 7 μόνο μία φορά.
Προσθέτουμε όλους αυτούς τους αριθμούς.
Ο αριθμός που θα προκύψει είναι μονός ή ζυγός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Το πλήθος των επταψήφιων αριθμών με ψηφία τα 1,2,3,...7 είναι 7!. Εφόσον οι περιττοί από το 1 μέχρι το 7 είναι 4, από τους 7! οι 4*6!= 2880 είναι περιττοί. Άρα έχουμε άρτιο πλήθος περιττών οπότε το άθροισμα των αριθμών θα είναι άρτιος.
Ωραία λύση (*). Μπράβο.

Ας δούμε μία διαφορετική, χωρίς μέτρημα.

Ζευγαρώνουμε τους αριθμούς σύμφωνα με τον κανόνα "συμπληρώνω κάθε ψηφίο μέχρι να γίνει 8". Εννοώ, το ταίρι του επταψήφιου
\overline {a bc d\,efg} είναι ο επταψήφιος \overline {(8-a)(8-b)(8-c)(8-d)(8-e)(8-f)(8-g)}. Για παράδειγμα του 7123456 είναι ο 1765432.

Έτσι το άθροισμα των αριθμών οποιουδήποτε ζεύγους είναι 8888888 (άρτιος).

Όλοι οι αριθμοί ζευγαρώνονται με ακριβώς έναν άλλο από το ίδιο σύνολο.

Το άθροισμα που ζητάμε αναδιατάσσεται ως "άθροισμα ζευγών" και άρα είναι άρτιο ως άθροισμα άρτιων.

Ακόμα καλύτερα, είναι πολλαπλάσιο του 8888888. (Μπορούμε εύκολα να βρούμε ακριβώς το άθροισμα, είναι 2^6\cdot 5 \cdot 7 \cdot (10^7-1), αλλά δεν το ζητάει η άσκηση).



(*) Το μόνο σχόλιο που έχω είναι ότι δεν χρειάζεται η πληροφορία για το πλήθος 7!

Edit: Διόρθωσα ένα σφάλμα (βλέπε παρακάτω στο ποστ του Δημήτρη) όπου άθροιζα αριθμό με επανάληψη ψηφίων. Ευτυχώς η απόδειξη σώζεται σχεδόν αυτολεξί.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Σάβ Ιαν 06, 2018 8:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7732
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιαν 06, 2018 7:16 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Ιαν 06, 2018 4:45 pm
Το άθροισμα που ζητάμε αναδιατάσσεται ως "άθροισμα ζευγών" συν "μία φορά τον 4444444", πάντως είναι άρτιο ως άθροισμα άρτιων. Ακόμα καλύτερα, είναι πολλαπλάσιο του 4444444. (Μπορούμε εύκολα να βρούμε ακριβώς το άθροισμα, είναι 2^6\cdot 5 \cdot 7 \cdot (10^7-1), αλλά δεν το ζητάει η άσκηση).
Μιχάλη, ο 4444444 δεν εμφανίζεται. (Έχουμε διαφορετικά ψηφία.) Βέβαια δεν αλλάζει κάτι ουσιαστικό στην λύση σου αφού ο 4444444 τυγχάνει να είναι άρτιος. Το άθροισμα που δίνεις είναι σωστό.


sokpanvas
Δημοσιεύσεις: 14
Εγγραφή: Δευ Ιούλ 31, 2017 1:53 pm

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sokpanvas » Σάβ Ιαν 06, 2018 7:24 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Ιαν 03, 2018 2:52 pm
Μία πολύ απλή, για χάρη πληρότητας:


Άσκηση 2. Κάθε δωμάτιο σε ένα σπίτι έχει άρτιο πλήθος από πόρτες. Δείξτε ότι οι εξωτερικές πόρτες του σπιτίου είναι άρτιου πλήθους.
Ονομάζουμε A_1,A_2,...,A_n τα δωμάτια και a_1 τoν αριθμό των πορτών του A_1, a_2 toν αριθμό των πορτών του A_2 κ.ο.κ
Ονομάζουμε επίσης B τον αριθμό των εσωτερικών πορτών(δηλαδή αυτών που ενώνουν τα δωμάτια μεταξύ τους) και \Gamma τον αριθμό των εξωτερικών πορτών(δηλαδή αυτών που ενώνουν το κάθε δωμάτιο με το εξωτερικό του σπιτιού).
Έστω ότι a_1+a_2+a_3+...+a_n= S τότε S=2k και S=2B + \Gamma άρα \Gamma =2(k-B) άρτιος.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10065
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 06, 2018 8:32 pm

Demetres έγραψε:
Σάβ Ιαν 06, 2018 7:16 pm

Μιχάλη, ο 4444444 δεν εμφανίζεται. (Έχουμε διαφορετικά ψηφία.) Βέβαια δεν αλλάζει κάτι ουσιαστικό στην λύση σου αφού ο 4444444 τυγχάνει να είναι άρτιος. Το άθροισμα που δίνεις είναι σωστό.
Δημήτρη, έχεις δίκιο :oops: Για μια στιγμή ξεχάστηκα, και αμέλησα την υπόθεση ότι τα ψηφία είναι διαφορετικά. Ευτυχώς δεν αλλάζει τίποτα στον συλλογισμό (γίνεται μάλιστα κατά τι ευκολότερος) και στο παραπάνω ήδη έκανα την διόρθωση.

Ε Υ Χ Α Ρ Ι Σ Τ Ω


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7732
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Ιαν 06, 2018 8:56 pm

sokpanvas έγραψε:
Σάβ Ιαν 06, 2018 7:24 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Ιαν 03, 2018 2:52 pm
Μία πολύ απλή, για χάρη πληρότητας:


Άσκηση 2. Κάθε δωμάτιο σε ένα σπίτι έχει άρτιο πλήθος από πόρτες. Δείξτε ότι οι εξωτερικές πόρτες του σπιτίου είναι άρτιου πλήθους.
Ονομάζουμε A_1,A_2,...,A_n τα δωμάτια και a_1 τoν αριθμό των πορτών του A_1, a_2 toν αριθμό των πορτών του A_2 κ.ο.κ
Ονομάζουμε επίσης B τον αριθμό των εσωτερικών πορτών(δηλαδή αυτών που ενώνουν τα δωμάτια μεταξύ τους) και \Gamma τον αριθμό των εξωτερικών πορτών(δηλαδή αυτών που ενώνουν το κάθε δωμάτιο με το εξωτερικό του σπιτιού).
Έστω ότι a_1+a_2+a_3+...+a_n= S τότε S=2k και S=2B + \Gamma άρα \Gamma =2(k-B) άρτιος.
Διαφορετικά:

Σε κάθε μεριά κάθε πόρτας βάζουμε ένα σημάδι. Συνολικά βάλαμε άρτιο αριθμό από σημάδια. Σε κάθε δωμάτιο του σπιτιού επίσης βλέπουμε άρτιο αριθμό από σημάδια. Άρα και στην εξωτερική πλευρά του σπιτιού βλέπουμε άρτιο αριθμό από σημάδια. Δηλαδή το σπίτι έχει άρτιο πλήθος από εξωτερικές πόρτες.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10065
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 06, 2018 9:14 pm

H παρακάτω είναι ουσιαστικά ίδια με την Άσκηση 2 αλλά είναι ντυμένη αλλιώς. Την γράφω μόνο και μόνο
για να δει ο καθένας την ομοιότητα των δύο ασκήσεων. Ας δούμε όμως την λύση, ανεξάρτητα.


Άσκηση 5. Δείξτε ότι το πλήθος των ατόμων που έχει δώσει περιττό αριθμό χειραψιών είναι άρτιος αριθμός.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10065
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιαν 06, 2018 9:17 pm


Άσκηση 6. Έστω N φυσικός αριθμός. Δείξτε ότι ο N είναι άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων αν και μόνον αν ο 2N είναι άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1219
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Ιαν 06, 2018 9:38 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Ιαν 06, 2018 9:17 pm

Άσκηση 6. Έστω N φυσικός αριθμός. Δείξτε ότι ο N είναι άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων αν και μόνον αν ο 2N είναι άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων.
Ευθύ: Έστω ότι N=a^2+b^2 με a,b φυσικούς.

Τότε, από την ταυτότητα 2(a^2+b^2)=(a+b)^2+(a-b)^2, είναι 2N=(a+b)^2+(a-b)^2, άρα ο 2N είναι άθροισμα τετραγώνων φυσικών.

Αντίστροφο:
Έστω 2N=x^2+y^2, τότε, N=\dfrac{(x+y)^2+(x-y)^2}{4} \,\, (1).

Είναι λοιπόν 4 \mid (x+y)^2+(x-y)^2 . Θα δείξουμε ότι το 2 διαιρεί τον x+y και τον x-y.

Αν είναι και οι δύο περιττοί, τότε (x+y)^2 \equiv 1 \pmod 4 και (x-y)^2 \equiv 1 \pmod 4, άρα (x+y)^2+(x-y)^2 \equiv 2 \pmod 4, άτοπο.

Αν είναι ο ένας άρτιος, και ο άλλος περιττός, το άθροισμά τους είναι περιττός, μη διαιρετός με το 4.

Άρα, x+y=2k, \, x-y=2\ell. Έτσι, από (1) N=k^2+\ell^2 ό.έ.δ.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Ιαν 06, 2018 10:26 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Ιαν 06, 2018 9:14 pm

Άσκηση 5. Δείξτε ότι το πλήθος των ατόμων που έχει δώσει περιττό αριθμό χειραψιών είναι άρτιος αριθμός.
Κάθε χειραψία που πραγματοποιείται μετρά στο πλήθος των χειραψιών δύο διαφορετικών ατόμων. Επομένως το άθροισμα S των χειραψιών όλων των ατόμων είναι άρτιος αριθμός (1)

Προφανώς το άθροισμα S_1 των χειραψιών που έχουν δώσει τα άτομα με άρτιο αριθμό χειραψιών είναι άρτιος αριθμός.

Αν το πλήθος των ατόμων που έχουν δώσει περιττό αριθμό χειραψιών είναι περιττός αριθμός, τότε το άθροισμα S_2 των χειραψιών τους θα είναι περιττός αριθμός.

Άρα το συνολικό άθροισμα S=S_1+S_2 είναι περιττός αριθμός που σύμφωνα με το (1) είναι άτοπο και το ζητούμενο έπεται.


Houston, we have a problem!
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10065
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 07, 2018 12:16 am

Μία απλή.

Άσκηση 6. Δείξτε ότι δεν υπάρχουν περιττοί φυσικοί αριθμοί a,\,b,\,c με (a+b)^2+(a+c)^2=(b+c)^2.
Βρείτε ωστόσο παράδειγμα τέτοιας ισότητας με δύο περιττούς και έναν άρτιο.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1219
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Ιαν 07, 2018 10:18 am

Άσκηση 6. Δείξτε ότι δεν υπάρχουν περιττοί φυσικοί αριθμοί a,\,b,\,c με (a+b)^2+(a+c)^2=(b+c)^2.
Βρείτε ωστόσο παράδειγμα τέτοιας ισότητας με δύο περιττούς και έναν άρτιο
Καλημέρα.

Έστω ότι υπάρχουν περιττοί a,b,c με (a+b)^2+(a+c)^2=(b+c)^2 (1).

Μετά τις πράξεις η (1) γράφεται a^2+ab+ac=bc και προσθέτοντας bc και στα δύο μέλη, είναι (a+b)(a+c)=2bc.

Αφού a,b,c περιττοί, 2 \mid a+b και 2 \mid a+c, άρα 4 \mid (a+b)(a+c)=2bc \Rightarrow 2 \mid bc, άτοπο, αφού b,c περιττοί.

Ένα παράδειγμα με δύο περιττούς και έναν άρτιο, είναι (a,b,c)=(1,2,3).


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10065
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 07, 2018 12:28 pm

Άσκηση 7. Δίνονται N το πλήθος αριθμοί a_1, \, a_2, \, ... \,,\, a_N ο καθένας από τους οποίους είναι \pm 1.
Αν a_1a_2+a_2a_3+...+a_{N-1}a_N+a_Na_1=0, δείξτε ότι ο N είναι πολλαπλάσιο του 4.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης