Καλησπέρα κύριε Ανδρέα.Ανδρέας Πούλος έγραψε: ↑Δευ Φεβ 05, 2018 8:20 pm18η Άσκηση.
Σε μια ευθεία ορίζουμε δύο σημεία και .
Στη συνέχει επιλέγουμε τυχαία στην ευθεία 9 σημεία που δεν ανήκουν στο ευθύγραμμο τμήμα .
Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των αποστάσεων των εννέα σημείων από το , δεν είναι ίσο με το άθροισμα των αποστάσεών τους από το .
Αν γενικεύσετε το ερώτημα με , τι τιμές παίρνει ο φυσικός ώστε να ισχύει το ζητούμενο;
Θα εργαστούμε κατευθείαν για την γενική περίπτωση.
Θα βρούμε για ποιες τιμές του μπορεί να είναι (όπου τα αθροίσματα των αποστάσεων των σημείων από τα ).
Ονομάζουμε τα σημεία.
Έστω πως σημεία (έστω τα ) βρίσκονται αριστερά του , και τα υπόλοιπα (έστω τα ) δεξιά του .
Είναι .
Όμοια .
Είναι , άρα (1).
Παρατηρούμε ότι για κάθε σημείο αριστερά του ισχύει , ενώ για κάθε σημείο δεξιά του ισχύει .
Έτσι η (1) γίνεται .
Έτσι, το ζητούμενο ισχύει (δηλαδή να μην γίνεται το άθροισμα των αποστάσεων να είναι το ίδιο) όταν .
Η αρχική περίπτωση για γίνεται προφανής αφού περιττός.