Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Συντονιστής: polysot
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1494
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Διονύση,
θεωρώ κι εγώ ότι αυτή η προσέγγιση είναι ακριβώς στο πνεύμα της Συλλογής "Μονά-Ζυγά".
θεωρώ κι εγώ ότι αυτή η προσέγγιση είναι ακριβώς στο πνεύμα της Συλλογής "Μονά-Ζυγά".
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Άσκηση 23 Εξετάστε αν μπορεί ένα άθροισμα διαφορετικών ανά δύο στοιχείων του συνόλου να είναι τέλειο τετράγωνο.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Σάβ Οκτ 05, 2019 6:11 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 786
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Διαβάζοντας απρόσεκτα την άσκηση του Κύριου Μιχάλη προσπάθησα να λύσω την άσκηση με όλες τις δυνάμεις του 2... Έτσι προέκυψε μια άλλη άσκηση αρκετά πιο δύσκολη που όμως δεν ξέρω αν έχει λύση!! Να σημειώσω πως έχω λύση για άθροισμα 2 στοιχείων (που δεν μου αρέσει γιατί χρησιμοποιώ θεώρημα "bazzoka") και ψάχνω αν υπάρχει λύση για 3 η΄περισσότερα στοιχεία! Αν κάποιος βρει κάτι θα χαιρόμουν να μου το στείλει με πμ!!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Νίκο, πρώτα απ' όλα χαιρετίσματα στους Καλαματιανούς φίλους.Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑Σάβ Οκτ 05, 2019 2:55 pmΔιαβάζοντας απρόσεκτα την άσκηση του Κύριου Μιχάλη προσπάθησα να λύσω την άσκηση με όλες τις δυνάμεις του 2... Έτσι προέκυψε μια άλλη άσκηση αρκετά πιο δύσκολη που όμως δεν ξέρω αν έχει λύση!! Να σημειώσω πως έχω λύση για άθροισμα 2 στοιχείων (που δεν μου αρέσει γιατί χρησιμοποιώ θεώρημα "bazzoka") και ψάχνω αν υπάρχει λύση για 3 η΄περισσότερα στοιχεία! Αν κάποιος βρει κάτι θα χαιρόμουν να μου το στείλει με πμ!!
Ο λόγος που έγραψα την άσκηση μόνο με περιττές δυνάμεις του είναι γιατί οι άρτιες είναι οι ίδιες τέλεια τετράγωνα. Δηλαδή έχουμε τέλειο τετράγωνο αν πάρουμε (μόνο) έναν προσθετέο. Για να αποφύγω αυτή την τετριμμένη περίπτωση, περιόρισα το αρχικό σύνολο.
Edit αργότερα: Η γραμμή που ακολουθεί είναι εσφαλμένη. Πρέπει να φύγει, όπως επισημαίνει ο Νίκος παρακάτω.
Αν δεν επιτρέψουμε αθροίσματα με έναν μόνο προσθετέο, τότε μπορούμε να εργαστούμε και με το .
Η λύση και στις δύο περιπτώσεις είναι ίδια και, αν το δεις σωστά, είναι απλή (μια γραμμή).
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Σάβ Οκτ 05, 2019 6:05 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 303
- Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
- Τοποθεσία: Καισαριανή
- Επικοινωνία:
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Ως μουσικός, μου άρεσε πολύ αυτό με το «τετράφωνο». Ωραία άσκηση, παρεμπιπτόντως!Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Οκτ 03, 2019 11:29 pmΆσκηση 23 Εξετάστε αν μπορεί ένα άθροισμα διαφορετικών ανά δύο στοιχείων του συνόλου να είναι τέλειο τετράφωνο.
-
- Δημοσιεύσεις: 786
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Κύριε Μιχάλη μπερδεύτηκα λίγο με τα λεγόμενα σας. Στην άσκηση που βάλατε δεν γίνεται να γραφτεί σαν τετράγωνο αν δεν κάνω κάποιο λάθος! Όμως αν βάλουμε στο σύνολο όλες τις δυνάμεις του 2 τότε γίνεται να γραφτεί το άθροισμα 2 τέτοιων στοιχείων ως τέλειο τετράγωνο. Όπως π.χ το 32+4=36. Μάλιστα σαν άθροισμα 2 στοιχείων έχω και τη μορφή των λύσεων! Αυτό που ψάχνω είναι αν υπάρχει κάτι για 3 προσθετεους και πάνω.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Οκτ 05, 2019 3:48 pmΤσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑Σάβ Οκτ 05, 2019 2:55 pmΔιαβάζοντας απρόσεκτα την άσκηση του Κύριου Μιχάλη προσπάθησα να λύσω την άσκηση με όλες τις δυνάμεις του 2... Έτσι προέκυψε μια άλλη άσκηση αρκετά πιο δύσκολη που όμως δεν ξέρω αν έχει λύση!! Να σημειώσω πως έχω λύση για άθροισμα 2 στοιχείων (που δεν μου αρέσει γιατί χρησιμοποιώ θεώρημα "bazzoka") και ψάχνω αν υπάρχει λύση για 3 η΄περισσότερα στοιχεία! Αν κάποιος βρει κάτι θα χαιρόμουν να μου το στείλει με πμ!!
Νίκο, πρώτα απ' όλα χαιρετίσματα στους Καλαματιανούς φίλους.
Ο λόγος που έγραψα την άσκηση μόνο με περιττές δυνάμεις του είναι γιατί οι άρτιες είναι οι ίδιες τέλεια τετράγωνα. Δηλαδή έχουμε τέλειο τετράγωνο αν πάρουμε (μόνο) έναν προσθετέο. Για να αποφύγω αυτή την τετριμμένη περίπτωση, περιόρισα το αρχικό σύνολο. Αν δεν επιτρέψουμε αθροίσματα με έναν μόνο προσθετέο, τότε μπορούμε να εργαστούμε και με το .
Η λύση και στις δύο περιπτώσεις είναι ίδια και, αν το δεις σωστά, είναι απλή (μια γραμμή).
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Νίκο έχεις δίκιο. Διάβασα απρόσεκτα το σχόλιό σου.Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑Σάβ Οκτ 05, 2019 4:29 pmΌμως αν βάλουμε στο σύνολο όλες τις δυνάμεις του 2 τότε γίνεται να γραφτεί το άθροισμα 2 τέτοιων στοιχείων ως τέλειο τετράγωνο. Όπως π.χ το 32+4=36.
Συνοψίζοντας: Η άσκηση όπως την είχα διατυπώσει αρχικά (περιττές δυνάμεις του ) είναι σωστή. Λύνεται σε μία γραμμή, και ταιριάζει στον παρόντα φάκελο με τα "μονά-ζυγά". Για τις άρτιες δυνάμεις δεν ισχύει το αποτέλεσμα και κακώς το πρόσθεσα αργότερα.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Μάρκο, διόρθωσα την τυπογραφική αβλεψία. Ευχαριστώ.Μάρκος Βασίλης έγραψε: ↑Σάβ Οκτ 05, 2019 4:13 pmΩς μουσικός, μου άρεσε πολύ αυτό με το «τετράφωνο». Ωραία άσκηση, παρεμπιπτόντως!
Πάντως δείχνει ότι τα Μαθηματικά είναι πρωτίστως αρμονία.
Να 'σαι καλά.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Αν και παραβιάζω τον κανονισμό αφού η ανάρτηση δεν είναι γραμμένη σε TEXΤσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑Σάβ Οκτ 05, 2019 4:29 pmΚύριε Μιχάλη μπερδεύτηκα λίγο με τα λεγόμενα σας. Στην άσκηση που βάλατε δεν γίνεται να γραφτεί σαν τετράγωνο αν δεν κάνω κάποιο λάθος! Όμως αν βάλουμε στο σύνολο όλες τις δυνάμεις του 2 τότε γίνεται να γραφτεί το άθροισμα 2 τέτοιων στοιχείων ως τέλειο τετράγωνο. Όπως π.χ το 32+4=36. Μάλιστα σαν άθροισμα 2 στοιχείων έχω και τη μορφή των λύσεων! Αυτό που ψάχνω είναι αν υπάρχει κάτι για 3 προσθετεους και πάνω.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Οκτ 05, 2019 3:48 pmΤσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑Σάβ Οκτ 05, 2019 2:55 pmΔιαβάζοντας απρόσεκτα την άσκηση του Κύριου Μιχάλη προσπάθησα να λύσω την άσκηση με όλες τις δυνάμεις του 2... Έτσι προέκυψε μια άλλη άσκηση αρκετά πιο δύσκολη που όμως δεν ξέρω αν έχει λύση!! Να σημειώσω πως έχω λύση για άθροισμα 2 στοιχείων (που δεν μου αρέσει γιατί χρησιμοποιώ θεώρημα "bazzoka") και ψάχνω αν υπάρχει λύση για 3 η΄περισσότερα στοιχεία! Αν κάποιος βρει κάτι θα χαιρόμουν να μου το στείλει με πμ!!
Νίκο, πρώτα απ' όλα χαιρετίσματα στους Καλαματιανούς φίλους.
Ο λόγος που έγραψα την άσκηση μόνο με περιττές δυνάμεις του είναι γιατί οι άρτιες είναι οι ίδιες τέλεια τετράγωνα. Δηλαδή έχουμε τέλειο τετράγωνο αν πάρουμε (μόνο) έναν προσθετέο. Για να αποφύγω αυτή την τετριμμένη περίπτωση, περιόρισα το αρχικό σύνολο. Αν δεν επιτρέψουμε αθροίσματα με έναν μόνο προσθετέο, τότε μπορούμε να εργαστούμε και με το .
Η λύση και στις δύο περιπτώσεις είναι ίδια και, αν το δεις σωστά, είναι απλή (μια γραμμή).
θα απαντήσω.
Για κάθε φυσικό
υπάρχουν
ώστε
Αν πάρεις έχεις όσες παραστάσεις θέλεις
Συμπλήρωμα.
Διόρθωσα ένα τυπογραφικό.
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Σάβ Οκτ 05, 2019 8:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Έστω ότι υπάρχουν διαφορετικά στοιχεία του συνόλου, ώστε το άθροισμα τους να είναι τέλειο τετράγωνο. Έστω με τα στοιχεία αυτά με τους περιττούς.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Οκτ 03, 2019 11:29 pmΆσκηση 23 Εξετάστε αν μπορεί ένα άθροισμα διαφορετικών ανά δύο στοιχείων του συνόλου να είναι τέλειο τετράγωνο.
Τότε, έχουμε με τον . Χωρίς βλάβη της γενικότητας, έστω , αν .
Έχω λοιπόν, . Έχω προφανώς για κάθε , άρα ο δεύτερος παράγοντας είναι περιττός, και αφού ο πρώτος είναι δύναμη του , οι δύο παράγοντες είναι πρώτοι μεταξύ τους.
Συνεπώς, υπάρχουν φυσικοί ώστε , και . Ο όμως είναι περιττός, έστω , οπότε , οπότε ο είναι τετράγωνο ρητού, άτοπο.
Edit : Διόρθωση τυπογραφικού λάθους. Ευχαριστώ τον κ.Σταύρο και τον κ.Μιχάλη που μου το επισήμαναν με Π.Μ.
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Κυρ Οκτ 06, 2019 12:05 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Δημοσιεύσεις: 786
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Κύριε Σταύρο ίσως δεν το διατύπωσα σωστά! Για άθροισμα 2 αριθμών έχω την μορφή όλων των λύσεων!! Για 3 και πάνω μπορούμε να βρούμε ΟΛΕΣ τις λύσεις?
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Ωραιότατα.
Ας δούμε την ίδια λύση αλλά με μικρή παραλλαγή στο τελείωμα για να δουν οι μαθητές ένα δεύτερο χρήσιμο εργαλείο:
για κάποια διαφορετικά μεταξύ τους περιττά .
Βγάζοντας κοινό παράγοντα και παρατηρώντας ότι το "μέσα" είναι "1 συν άθροισμα άρτιων", ο αριθμός γράφεται ως
.
Ο μπορεί να είναι ή να μην είναι τέλειο τετράγωνο (μας είναι αδιάφορο) όμως η (μοναδική) ανάλυση του σε πρώτους παράγοντες έχει περιττό πλήθος από δυάρια (συγκεκριμένα, ). Άρα δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο αφού τα τέλεια τετράγωνα έχουν μόνο άρτιες δυνάμεις των πρώτων παραγόντων τους. Βλέπε: . Τελειώσαμε.
Ας δούμε την ίδια λύση αλλά με μικρή παραλλαγή στο τελείωμα για να δουν οι μαθητές ένα δεύτερο χρήσιμο εργαλείο:
Εξετάζουμε ένα άθροισμα από διαφορετικούς μεταξύ τους αριθμούς του συνόλου. Με άλλα λόγια εξετάζουμε, ένα άθροισμαMihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Οκτ 03, 2019 11:29 pmΆσκηση 23 Εξετάστε αν μπορεί ένα άθροισμα διαφορετικών ανά δύο στοιχείων του συνόλου να είναι τέλειο τετράγωνο.
για κάποια διαφορετικά μεταξύ τους περιττά .
Βγάζοντας κοινό παράγοντα και παρατηρώντας ότι το "μέσα" είναι "1 συν άθροισμα άρτιων", ο αριθμός γράφεται ως
.
Ο μπορεί να είναι ή να μην είναι τέλειο τετράγωνο (μας είναι αδιάφορο) όμως η (μοναδική) ανάλυση του σε πρώτους παράγοντες έχει περιττό πλήθος από δυάρια (συγκεκριμένα, ). Άρα δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο αφού τα τέλεια τετράγωνα έχουν μόνο άρτιες δυνάμεις των πρώτων παραγόντων τους. Βλέπε: . Τελειώσαμε.
-
- Δημοσιεύσεις: 786
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Κύριε Μιχάλη καλημέρα! Το προηγούμενο Σάββατο έβαλα την άσκηση στην τάξη και την λύσαμε ακριβώς με τον ίδιο τρόπο! Για αυτό το Σάββατο τους έχω βάλει σαν άσκηση να βρουν ΟΛΕΣ τις λύσεις αθροίσματος 2 προσθετεων από το σύνολο με ΟΛΕΣ τις δυνάμεις του 2.
Αν κάποιος δεν βάλει την λύση μέχρι το Σάββατο θα την βάλω τότε όταν την ετοιμάσω με τους μαθητές. Επίσης για 3 προσθετεους έχω βρει ένα τύπο άπειρων λύσεων αλλά δεν έχω βρει τρόπο απόδειξης ότι είναι μοναδικές
Αν κάποιος δεν βάλει την λύση μέχρι το Σάββατο θα την βάλω τότε όταν την ετοιμάσω με τους μαθητές. Επίσης για 3 προσθετεους έχω βρει ένα τύπο άπειρων λύσεων αλλά δεν έχω βρει τρόπο απόδειξης ότι είναι μοναδικές
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Νίκο,Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑Κυρ Οκτ 13, 2019 11:12 amΤο προηγούμενο Σάββατο έβαλα την άσκηση στην τάξη
Συγχαρητήρια σε 'σένα και τους μαθητές σου που Σαββατιάτικα ασχολούνται με καλά Μαθηματικά.
Εύχομαι να σας μιμηθούν πολλοί.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Άσκηση 24 Δείξτε ότι δεν υπάρχει τρόπος να βάλουμε από έναν φυσικό αριθμό στα κυκλάκια έτσι ώστε το άθροισμα των τεσσάρων αριθμών σε κάθε ευθεία του σχήματος να είναι περιττός αριθμός.
Ας την αφήσουμε ώρες για τα παιδιά του Δημοτικού.
.
Ας την αφήσουμε ώρες για τα παιδιά του Δημοτικού.
.
- Συνημμένα
-
- star 10.png (13.19 KiB) Προβλήθηκε 1768 φορές
-
- Δημοσιεύσεις: 786
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Επανέρχομαι στο θέμα δίνοντας τη λύση για το πρόβλημα 2 προσθετέων από το σύνολο με όλες τις δυνάμεις του 2
Έστω το άθροισμα με
Αν περιττός τότε
Όμως 2 πρώτος και αφού περιττός πρέπει
για να είναι τέλειο τετράγωνο
Αδύνατο αφού περιττός
Αν άρτιος τότε
Αφού τέλειο τετράγωνο πρέπει
Από άμεση εφαρμογή Θ.Catalan έχω
Άρα η μορφή λύσεων είναι για άρτιο
Υ.Γ. Ευχαριστώ τον Νικόλα Κατερινόπουλο που μετέφερε την άσκηση σε Latex
Υ.Γ.2 Έχω βρει και άπειρες λύσεις για 3 προσθετέους της μορφής αλλά δεν μπορώ να δείξω ότι είναι οι μοναδικές
Έστω το άθροισμα με
Αν περιττός τότε
Όμως 2 πρώτος και αφού περιττός πρέπει
για να είναι τέλειο τετράγωνο
Αδύνατο αφού περιττός
Αν άρτιος τότε
Αφού τέλειο τετράγωνο πρέπει
Από άμεση εφαρμογή Θ.Catalan έχω
Άρα η μορφή λύσεων είναι για άρτιο
Υ.Γ. Ευχαριστώ τον Νικόλα Κατερινόπουλο που μετέφερε την άσκηση σε Latex
Υ.Γ.2 Έχω βρει και άπειρες λύσεις για 3 προσθετέους της μορφής αλλά δεν μπορώ να δείξω ότι είναι οι μοναδικές
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Δεν χρειάζεται κανένα θεώρημα του αγαπητού Catalan.Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑Σάβ Οκτ 19, 2019 2:48 pm
Αφού τέλειο τετράγωνο πρέπει
Από άμεση εφαρμογή Θ.Catalan έχω
Το σχετικό θεώρημα δεν το γνωρίζω.
Αφού
ο είναι περιττός.
Ετσι οπότε
Η μόνη περίπτωση είναι οπότε
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Σίγουρα δεν είναι μόνο αυτές.Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑Σάβ Οκτ 19, 2019 2:48 pm
Υ.Γ.2 Έχω βρει και άπειρες λύσεις για 3 προσθετέους της μορφής αλλά δεν μπορώ να δείξω ότι είναι οι μοναδικές
πάρε δεν έχει την μορφή παραπάνω.
-
- Δημοσιεύσεις: 786
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Κύριε Σταύρο αυτό δεν το είχα σκεφτεί!! Ευχαριστώ πολύ!ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Σάβ Οκτ 19, 2019 5:32 pmΣίγουρα δεν είναι μόνο αυτές.Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑Σάβ Οκτ 19, 2019 2:48 pm
Υ.Γ.2 Έχω βρει και άπειρες λύσεις για 3 προσθετέους της μορφής αλλά δεν μπορώ να δείξω ότι είναι οι μοναδικές
πάρε δεν έχει την μορφή παραπάνω.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μονά-ζυγά Συλλογή Ασκήσεων
Ανοικτή σε όλους.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Δευ Οκτ 14, 2019 8:06 amΆσκηση 24 Δείξτε ότι δεν υπάρχει τρόπος να βάλουμε από έναν φυσικό αριθμό στα κυκλάκια έτσι ώστε το άθροισμα των τεσσάρων αριθμών σε κάθε ευθεία του σχήματος να είναι περιττός αριθμός.
Ας την αφήσουμε ώρες για τα παιδιά του Δημοτικού.
.
Το σχήμα είναι λίγα ποστ πιο πάνω.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες