Να βρεθεί συνάρτηση

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4245
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Να βρεθεί συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Κυρ Ιαν 28, 2018 10:14 am

Να βρεθούν όλες οι 1-1 συνάρτησεις f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} με την ιδιότητα:
Για κάθε τετράδα αριθμών x, y, z, t με z \neq t ισχύει:
\displaystyle{\frac{f\left( x\right) -f\left( y\right) }{f\left( z\right) -f\left( t\right) }=\frac{x-y}{z-t}.}


Για το υπόλοιπο Ιανουαρίου.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 798
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Να βρεθεί συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Ιαν 28, 2018 12:18 pm

Θέτουμε y=x-1 και t=z-1 και έχουμε ότι:

\dfrac{f(x)-f(x-1)}{f(z)-f(z-1)}=\dfrac{x-(x-1)}{z-(z-1)}=1\Leftrightarrow \dfrac{f(x)-f(x-1)}{f(z)-f(z-1)}=1. Ξέρουμε πως f(z)\ne f(z-1) αφού η f είναι 1-1, άρα δεν έχουμε πρόβλημα με τον παρανομαστή.

Επομένως:

f(x)-f(x-1)=f(z)-f(z-1)

Αν θέσουμε z=1, έχουμε ότι f(x)-f(x-1)=f(1)+f(0) που είναι σταθερό, άρα f(x)-f(x-1)=c.

Θέτουμε στην αρχική y=t=0. Τότε:

\dfrac{f(x)-f(0)}{f(z)-f(0)}=\dfrac{x}{z}\Rightarrow zf(x)-xf(z)=f(0)(z-x).

Θέτουμε z=x-1 και έχουμε ότι:

(x-1)f(x)-xf(x-1)=-f(0)\Rightarrow x(f(x)-f(x-1))+f(0)=f(x), δηλαδή f(x)=cx+c', όπου c'=f(0).

Άρα f(x)=ax+b και παρατηρούμε πως ικανοποιεί την αρχική σχέση για κάθε a, b με a\ne 0.


Houston, we have a problem!
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11504
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Να βρεθεί συνάρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιαν 28, 2018 12:35 pm

nsmavrogiannis έγραψε:
Κυρ Ιαν 28, 2018 10:14 am
Να βρεθούν όλες οι 1-1 συνάρτησεις f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} με την ιδιότητα:
Για κάθε τετράδα αριθμών x, y, z, t με z \neq t ισχύει:
\displaystyle{\frac{f\left( x\right) -f\left( y\right) }{f\left( z\right) -f\left( t\right) }=\frac{x-y}{z-t}.}
Θέτουμε y=t=0, z=1 οπότε \displaystyle{\frac{f\left( x\right) -f\left( 0\right) }{f\left( 1\right) -f\left( 0\right) }= x}

Άρα f(x)=(f(1)-f(0))x+f(0) δηλαδή f(x)=ax+b με a\ne 0. Ελέγχουμε τώρα ότι η τελευταία ικανοποιεί τις συνθήκες. Τελειώσαμε.

Σχολιάζω ότι αντί για 1-1 μας αρκεί η f να παίρνει διαφορετικές τιμές σε δύο μόνο σημεία. Παραπάνω χρησιμοποίησα τα 0 και 1 αλλά οποιαδήποτε άλλα δύο, μας κάνουν.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης