Να βρεθεί συνάρτηση

#1

Να βρεθούν όλες οι 1-1

συνάρτησεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με την ιδιότητα:
Για κάθε τετράδα αριθμών x, y, z, t

με $z \neq t$ ισχύει:
$\displaystyle{\frac{f\left( x\right) -f\left( y\right) }{f\left( z\right) -f\left( t\right) }=\frac{x-y}{z-t}.}$

Για το υπόλοιπο Ιανουαρίου.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Θέτουμε

και

και έχουμε ότι:

$\dfrac{f(x)-f(x-1)}{f(z)-f(z-1)}=\dfrac{x-(x-1)}{z-(z-1)}=1\Leftrightarrow \dfrac{f(x)-f(x-1)}{f(z)-f(z-1)}=1$ . Ξέρουμε πως $f(z)\ne f(z-1)$ αφού η

είναι

, άρα δεν έχουμε πρόβλημα με τον παρανομαστή.

Επομένως:

f(x)-f(x-1)=f(z)-f(z-1)

Αν θέσουμε z=1

, έχουμε ότι f(x)-f(x-1)=f(1)+f(0)

που είναι σταθερό, άρα f(x)-f(x-1)=c

.

Θέτουμε στην αρχική y=t=0

. Τότε:

$\dfrac{f(x)-f(0)}{f(z)-f(0)}=\dfrac{x}{z}\Rightarrow zf(x)-xf(z)=f(0)(z-x)$ .

Θέτουμε z=x-1

και έχουμε ότι:

$(x-1)f(x)-xf(x-1)=-f(0)\Rightarrow x(f(x)-f(x-1))+f(0)=f(x)$ , δηλαδή f(x)=cx+c'

, όπου

.

Άρα

και παρατηρούμε πως ικανοποιεί την αρχική σχέση για κάθε a, b

με $a\ne 0$ .

#3

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 28, 2018 10:14 am
Να βρεθούν όλες οι συνάρτησεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με την ιδιότητα:
Για κάθε τετράδα αριθμών με $z \neq t$ ισχύει:
$\displaystyle{\frac{f\left( x\right) -f\left( y\right) }{f\left( z\right) -f\left( t\right) }=\frac{x-y}{z-t}.}$

Θέτουμε

οπότε $\displaystyle{\frac{f\left( x\right) -f\left( 0\right) }{f\left( 1\right) -f\left( 0\right) }= x}$

Άρα f(x)=(f(1)-f(0))x+f(0)

δηλαδή

με $a\ne 0$ . Ελέγχουμε τώρα ότι η τελευταία ικανοποιεί τις συνθήκες. Τελειώσαμε.

Σχολιάζω ότι αντί για 1-1

μας αρκεί η

να παίρνει διαφορετικές τιμές σε δύο μόνο σημεία. Παραπάνω χρησιμοποίησα τα

και

αλλά οποιαδήποτε άλλα δύο, μας κάνουν.

Να βρεθεί συνάρτηση

Να βρεθεί συνάρτηση

Re: Να βρεθεί συνάρτηση

Re: Να βρεθεί συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση