Ελαφρώς αλλαγμένη

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 926
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Ελαφρώς αλλαγμένη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Κυρ Ιαν 28, 2018 3:30 pm

Για την Α' Λυκείου, μέχρι τέλος Γενάρη.

Για τους a και b, ισχύει ότι :

a^{2}-4a+b^{2}+10b+20=0.

Να αποδείξετε ότι a>b+ \frac{3}{2}.
Υπήρξε παλαιότερο θέμα στον Ευκλείδη, λίγο διαφορετικό. Η ανισότητα μπορεί να γίνει ακόμη καλύτερη, χρησιμοποιήστε σχολικά μέσα.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3069
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ελαφρώς αλλαγμένη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Φεβ 06, 2018 1:33 pm

Επαναφορά.


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ελαφρώς αλλαγμένη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Φεβ 06, 2018 10:25 pm

Ας την σφίξουμε: Να αποδείξετε ότι \displaystyle{a\geq b+7-3\sqrt{2}.}


Μάγκος Θάνος
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1484
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ελαφρώς αλλαγμένη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Τρί Φεβ 06, 2018 11:28 pm

Θέτουμε x=a-b.
Απαλείφοντας το a από τη αρχική σχέση βρίσκουμε
2b^2+(2x+6)b+x^2-4x+20=0.
Η τελευταία έχει μη αρνητική διακρίνουσα οπότε x^2-14x+31\leq 0 και τελικά 7-3\sqrt2\leq a-b\leq 7+3\sqrt2.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 926
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Ελαφρώς αλλαγμένη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Τρί Φεβ 06, 2018 11:40 pm

Ωραία. Εναλλακτικά,

(a-2)^{2}+(-b-5)^{2}=9.

Είναι, 2[(a-2)^{2}+(-b-5)^2] \geq (a-b-7)^{2}.

Άρα, |a-b-7| \leq 3 \sqrt{2} \Rightarrow a-b \geq 7-3 \sqrt{2}.

Θα προτιμούσα να έβλεπα προσπάθεια μαθητών. Την έδωσα σε κάποιους δικούς μου, με το φράγμα που έδωσα αρχικά. Άντε να δούμε τί θα μου φέρουν! Καληνύχτα σας.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 650
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ελαφρώς αλλαγμένη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Φεβ 07, 2018 12:22 am

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:
Κυρ Ιαν 28, 2018 3:30 pm
Για την Α' Λυκείου, μέχρι τέλος Γενάρη.

Για τους a και b, ισχύει ότι :

a^{2}-4a+b^{2}+10b+20=0.

Να αποδείξετε ότι a>b+ \frac{3}{2}.
Υπήρξε παλαιότερο θέμα στον Ευκλείδη, λίγο διαφορετικό. Η ανισότητα μπορεί να γίνει ακόμη καλύτερη, χρησιμοποιήστε σχολικά μέσα.
H εξίσωση a^{2}-4a+b^{2}+10b+20=0 είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο το (2,-5) Αφού θέλουμε να εκτιμήσουμε τη

διαφορά b-a θεωρούμε τη μεταβλητή ευθεία b=a+k. Στο σημείο που αυτή εφάπτεται πρώτη φορά στον κύκλου,

κινούμενη από πάνω προς τα κάτω, παίρνουμε το ζεύγος (a,b) που δίνει το max(b-a) (εκεί πετυχαίνουμε το μέγιστο

k) Για ευκολία θεωρούμε πρώτα τον κύκλο με κέντρο το (0,0) και ακτίνα 3. Η ευθεία μας

τώρα θα έχει εξίσωση \frac{3\sqrt{2}}{2}b-\frac{3\sqrt{2}}{2}a=9\Leftrightarrow b=a+3\sqrt{2} (εφάπτεται στο

(-\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2})) Μετατοπίζοντάς την τώρα κατά 2 μονάδες δεξιά και πέντε μονάδες κάτω

η εξίσωσή της γίνεται b=a+3\sqrt{2}-7. Αυτή τώρα έχει σημείο τομής με τον κατακόρυφο άξονα το

(0,k_{max})=(0,(b-a)_{max})=(0,3\sqrt{2}-7). Άρα b-a\leq 3\sqrt{2}-7


Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1484
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ελαφρώς αλλαγμένη

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Τετ Φεβ 07, 2018 11:37 am

Μια ακόμα σκέψη:
Η αρχική γράφεται \left(\dfrac{a-2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{b+5}{3}\right)^2=1.

Υπάρχει \theta\in [0,2\pi) ώστε \cos\theta=\dfrac{a-2}{3} και \sin\theta=\dfrac{b+5}{3}

οπότε a-b-7=3(\cos\theta-\sin\theta)=3\sqrt2\cos(\dfrac{\pi}{4}-\theta).

Άρα a-b-7\in[-3\sqrt2,3\sqrt2]


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες