Μονοτονία - Ολοκλήρωμα

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
Λάμπρος Μπαλός
Δημοσιεύσεις: 926
Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Μονοτονία - Ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Μπαλός » Σάβ Απρ 14, 2018 10:15 pm

Γ Λυκείου , μέχρι 20/04/2018

Να αποδείξετε ότι sinx+tanx \geq 2x , \forall x \in [0,1] και στη συνέχεια ότι

\int_{0}^{1}[sin(x^{n})+tan(x^{n})]dx > \frac{2}{n+1} , \forall n \in N.


Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12301
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μονοτονία - Ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Απρ 21, 2018 5:41 pm

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:
Σάβ Απρ 14, 2018 10:15 pm
Γ Λυκείου , μέχρι 20/04/2018

Να αποδείξετε ότι sinx+tanx \geq 2x , \forall x \in [0,1] και στη συνέχεια ότι

\int_{0}^{1}[sin(x^{n})+tan(x^{n})]dx > \frac{2}{n+1} , \forall n \in N.
Για την πρώτη, η \displaystyle{f(x)= \sin x+\tan x - 2x} έχει παράγωγο \displaystyle{ \cos x + \frac {1}{\cos ^2x} -2 =  \frac {(1-\cos x) + \cos c (1-\cos x)^2}{\cos ^2x}\ge 0} ως άθροισμα θετικών. Άρα η f είναι αύξουσα στο [0, 1] (και ευρύτερα, αλλά αυτό μας χρειάζεται), οπότε f(x) \ge f(0)=0.

Για το δεύτερο, η αλλαγή μεταβλητής x=y^{1/n} δίνει ότι το δοθέν ολοκλήρωμα ισούται

\displaystyle{   \frac {1}{n} \int_{0}^{1} (\sin y+\tan y)y^{1/n-1} dy\ge \frac {1}{n} \int_{0}^{1} 2y\cdot y^{1/n-1} dy=  \frac {1}{n} \int_{0}^{1} y^{1/n} dy= \frac{2}{n+1}}


Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1288
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Μονοτονία - Ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Κυρ Απρ 22, 2018 9:28 pm

Το δεύτερο βγαίνει απευθείας αν χρησιμοποιήσουμε το α).


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες