Μονοτονία - Ολοκλήρωμα

Λάμπρος Μπαλός · #1

Γ Λυκείου , μέχρι 20/04/2018

Να αποδείξετε ότι $sinx+tanx \geq 2x , \forall x \in [0,1]$ και στη συνέχεια ότι

$\int_{0}^{1}[sin(x^{n})+tan(x^{n})]dx > \frac{2}{n+1} , \forall n \in N$ .

#2

Λάμπρος Μπαλός έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 14, 2018 10:15 pm
Γ Λυκείου , μέχρι 20/04/2018

Να αποδείξετε ότι $sinx+tanx \geq 2x , \forall x \in [0,1]$ και στη συνέχεια ότι

$\int_{0}^{1}[sin(x^{n})+tan(x^{n})]dx > \frac{2}{n+1} , \forall n \in N$ .

Για την πρώτη, η $\displaystyle{f(x)= \sin x+\tan x - 2x}$ έχει παράγωγο $\displaystyle{ \cos x + \frac {1}{\cos ^2x} -2 = \frac {(1-\cos x) + \cos c (1-\cos x)^2}{\cos ^2x}\ge 0}$ ως άθροισμα θετικών. Άρα η

είναι αύξουσα στο [0, 1]

(και ευρύτερα, αλλά αυτό μας χρειάζεται), οπότε $f(x) \ge f(0)=0$ .

Για το δεύτερο, η αλλαγή μεταβλητής $x=y^{1/n}$ δίνει ότι το δοθέν ολοκλήρωμα ισούται

$\displaystyle{ \frac {1}{n} \int_{0}^{1} (\sin y+\tan y)y^{1/n-1} dy\ge \frac {1}{n} \int_{0}^{1} 2y\cdot y^{1/n-1} dy= \frac {1}{n} \int_{0}^{1} y^{1/n} dy= \frac{2}{n+1}}$

#3

Το δεύτερο βγαίνει απευθείας αν χρησιμοποιήσουμε το α).

Μονοτονία - Ολοκλήρωμα

Μονοτονία - Ολοκλήρωμα

Re: Μονοτονία - Ολοκλήρωμα

Re: Μονοτονία - Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση