Συναρτήσεις, απλή

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Kercyn
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Παρ Μαρ 26, 2010 10:17 pm

Συναρτήσεις, απλή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Kercyn » Κυρ Μαρ 28, 2010 7:50 pm

Έστω f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, συνεχής και ισχύει (f \circ f)_{(x)} = x  \forall x \in \mathbb{R}, f(1992) = 1992 και f(2010) = 2010, να δείξετε ότι

1) (f \circ f)\uparrow \mathbb{R}
2) f 1-1
3) f(x) = f^{-1}(x)
Επειδή έχω δει αρκετά θέματα σε αυτήν την ενότητα να απαντώνται από άτομα που δεν είναι μαθητές, θα ήθελα να παρακαλέσω οι μη μαθητές να συγκρατηθούν :P
Η άσκηση είναι δική μου, την εμπνεύστηκα από μια πρόταση ενός βιβλίου, γι' αυτό αν κάποιος, μαθητής ή μη, δει λάθος δεδομένα, συμπεράσματα κλπ, παρακαλώ να με ενημερώσει.
Ευχαριστώ :smile:
Μέχρι 7/4, Γ' Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Edit: Άλλαξα μερικά πράγματα, γιατί διαπίστωσα ότι η άσκηση ήταν ελλιπής, αν και εγώ θυμάμαι ότι την είχα βγάλει και χωρίς αυτά. Τέλος πάντων. Πρόσθεσα επίσης και ένα επιπλέον ερώτημα που θα βοηθήσει στην επίλυση του 3ου.


Pla.pa.s
Δημοσιεύσεις: 157
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 11:56 pm

Re: Συναρτήσεις, απλή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Pla.pa.s » Σάβ Ιούλ 23, 2011 3:14 pm

1) Επειδή x\uparrow \mathbb R είναι (f\circ f) \uparrow \mathbb R
2) Είναι f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow f(f(x_{1}))=f(f(x_{2}))\Leftrightarrow x_{1}=x_{2} συνεπώς η f είναι 1-1.
3) Θα δείξουμε ότι f(\mathbb R)=\mathbb R.
Έστω y\in \mathbb R. Τότε για u=f(y) είναι f(u)=y. Συνεπώς για κάθε y\in\mathbb R υπάρχει x ώστε f(x)=y κι άρα f(\mathbb R)=\mathbb R και τελικά D_{f^{-1}}=\mathbb R.
Οπότε έχουμε (f\circ f)(x)=x \Rightarrow f^{-1}((f\circ f)(x))=f^{-1}(x) \Rightarrow f(x)=f^{-1}(x) για κάθε x \in \mathbb R.


1+1+...+1=2
Dots are mysterious!
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτήσεις, απλή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Απρ 14, 2012 7:28 pm

Για να δω εαν κατάλαβα καλά τα δεδομένα ''συνέχεια της \displaystyle{f}'' και τα δυο σημεία της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f} ήταν περιττά;
Δεν βλέπω να χρησίμευσαν κάπου.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης