Σελίδα 1 από 1

Εμβαδόν εξαγώνου

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Φεβ 09, 2019 5:53 pm
από george visvikis
Εμβαδόν εξαγώνου.png
Εμβαδόν εξαγώνου.png (16.77 KiB) Προβλήθηκε 604 φορές
Από καθένα από τα μέσα των πλευρών οξυγώνιου τριγώνου ABC φέρνουμε κάθετες στις άλλες δύο πλευρές

σχηματίζοντας το εξάγωνο KLMNPQ που φαίνεται στο σχήμα. Να δείξετε ότι (KLMNPQ)=\dfrac{1}{2}(ABC).


Μέχρι τη νίκη του Ολυμπιακού στην Τούμπα!

(Έχετε σίγουρα 27 ώρες... που μπορεί να φτάσουν μέχρι \displaystyle \color{blue} + \infty :lol: )

Re: Εμβαδόν εξαγώνου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 11, 2019 10:08 am
από george visvikis
Δυστυχώς τα πράγματα δεν ήρθαν όπως τα είχα σχεδιάσει ;)

Έτσι, μετά την ήττα του Ολυμπιακού στην Τούμπα, η άσκηση είναι ελεύθερη για όλους!

Re: Εμβαδόν εξαγώνου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 11, 2019 7:07 pm
από Math Rider
Εμβαδόν εξαγώνου.png
Εμβαδόν εξαγώνου.png (28.68 KiB) Προβλήθηκε 487 φορές
Έστω H το ορθόκεντρο του τριγώνου PMK. Τα τετράπλευρα PNMH, MLKH και KQPH είναι παραλληλόγραμμα.
(Οι απέναντι πλευρές τους είναι κάθετες σε παράλληλες ευθείες)
Επομένως (KLMNPQ)= (PNMH)+ (MLKH)+ (KQPH)= 2(HPM) + 2(HMK) +2(HKP)=
2(PMK)=2\cdot\dfrac{1}{4}(ABC)=\dfrac{1}{2}(ABC).

Re: Εμβαδόν εξαγώνου

Δημοσιεύτηκε: Δευ Φεβ 11, 2019 11:37 pm
από Xriiiiistos
Μια λύση χωρίς τα έξτρα ύψη είναι τα τρίγωνο PMK,ABC είναι όμοιο με λόγο ομοιότητας \frac{1}{2} άρα \frac{(PMK)}{(ABC)}=\frac{1}{4}.APM,MKC,PKB ίσα με N,L,G ta αντίστοιχα ορθόκεντρά τους. Και τώρα έχουμε KM=AP,AN=ML,NP=LK άρα ANP=MLK και ομοίως MNA=PGK κτλ.

Re: Εμβαδόν εξαγώνου

Δημοσιεύτηκε: Τετ Φεβ 13, 2019 10:50 am
από george visvikis
Άλλη μία στο ίδιο μήκος κύματος με του Math Rider.
Εμβαδόν εξαγώνου.ΙΙ.png
Εμβαδόν εξαγώνου.ΙΙ.png (20.26 KiB) Προβλήθηκε 376 φορές
Αν H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC, τότε τα HQKL, HLMN, HNPQ είναι παραλληλόγραμμα.

\displaystyle (KLMNPQ) = (HQKL) + (HLMN) + (HNPQ) = \frac{1}{2}[(HBC) + (HCA) + (HAB)] \Leftrightarrow

\boxed{KLMNPQ)=\frac{1}{2}(ABC)}