H 36άρα

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8222
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

H 36άρα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιουν 19, 2019 10:35 am

Γνωστή, αλλά με πολλαπλές και ποικίλες λύσεις.
Η 36άρα.png
Η 36άρα.png (9.76 KiB) Προβλήθηκε 855 φορές
AD είναι η διχοτόμος ισοσκελούς τριγώνου ABC (AB=BC). Αν BD=AC, να δείξετε ότι \widehat B=36^\circ.

Για ένα 24ωρο μόνο για μαθητές, με ύλη μέχρι Γ' Γυμνασίου .


Μετά τη λήξη της προθεσμίας όλες οι λύσεις δεκτές και απ' όλους.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1454
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: H 36άρα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Ιουν 19, 2019 2:59 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Ιουν 19, 2019 10:35 am
Γνωστή, αλλά με πολλαπλές και ποικίλες λύσεις.
Η 36άρα.png
AD είναι η διχοτόμος ισοσκελούς τριγώνου ABC (AB=BC). Αν BD=AC, να δείξετε ότι \widehat B=36^\circ.

Για ένα 24ωρο μόνο για μαθητές, με ύλη μέχρι Γ' Γυμνασίου .


Μετά τη λήξη της προθεσμίας όλες οι λύσεις δεκτές και απ' όλους.
Καλησπέρα Γιώργο!

Έστω ότι η κάθετη από το C προς την AD τέμνει την AB στο E. Τότε, με F \equiv EC \cap AD στο τρίγωνο \vartriangle AEC η AF είναι διχοτόμος και ύψος, άρα το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές, με AE=AC.

Ακόμη, έχουμε AE=AC, \angle EAD=\angle DAC, άρα τα τρίγωνα \vartriangle AED, \vartriangle ACD είναι ίσα, οπότε \angle AED=\angle C (1).

Επίσης, είναι BE=AB-AE=BC-AC=BC-BD=DC=DE, από τα προαναφερθέντα ίσα τρίγωνα. Άρα, το \vartriangle BED είναι ισοσκελές, οπότε \angle AED=2\angle B (2).

Από (1), (2), προκύπτει \angle C=2\angle B, οπότε έχουμε \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ \Rightarrow 5\angle B=180^\circ \Rightarrow \angle B=36^\circ, και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1454
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: H 36άρα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Ιουν 19, 2019 3:05 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Ιουν 19, 2019 10:35 am
Γνωστή, αλλά με πολλαπλές και ποικίλες λύσεις.
Η 36άρα.png
AD είναι η διχοτόμος ισοσκελούς τριγώνου ABC (AB=BC). Αν BD=AC, να δείξετε ότι \widehat B=36^\circ.

Για ένα 24ωρο μόνο για μαθητές, με ύλη μέχρι Γ' Γυμνασίου .


Μετά τη λήξη της προθεσμίας όλες οι λύσεις δεκτές και απ' όλους.
Εναλλακτικά ...

Έστω ότι, η παράλληλη από το D προς την AC τέμνει την AB στο P.

Τότε, έχουμε ότι \angle PDA=\angle DAC=\angle PAD \Rightarrow PA=PD.

Επίσης, έχουμε \angle BPD=\angle BAC=\angle BCA=\angle BDP \Rightarrow BD=BP, και αφού BA=BC, προκύπτει PA=BA-BP=BC-BD=DC \Rightarrow PA=DC.

Οπότε, DC=PA=PD.

Τα τρίγωνα, \vartriangle BPD, \vartriangle DAC έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες, οπότε είναι ίσα (Π-Π-Π), συνεπώς \angle DAC=\angle B \Rightarrow \angle A=2\angle B, και η συνέχεια είναι ίδια με την προηγούμενη λύση.
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Τετ Ιουν 19, 2019 3:55 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1454
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: H 36άρα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Ιουν 19, 2019 3:16 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Ιουν 19, 2019 10:35 am
Γνωστή, αλλά με πολλαπλές και ποικίλες λύσεις.
Η 36άρα.png
AD είναι η διχοτόμος ισοσκελούς τριγώνου ABC (AB=BC). Αν BD=AC, να δείξετε ότι \widehat B=36^\circ.

Για ένα 24ωρο μόνο για μαθητές, με ύλη μέχρι Γ' Γυμνασίου .


Μετά τη λήξη της προθεσμίας όλες οι λύσεις δεκτές και απ' όλους.
Και μια τρίτη ...

Έστω, ότι ο κύκλος (C,CD) τέμνει την προέκταση της AC (προς το C) στο Q.

Τότε, είναι CD=CQ, οπότε AQ=AC+CQ=AC+CD=BD+DC=BC=AB, άρα AQ=AB, και αφού \angle BAD=\angle DAQ, τα τρίγωνα \vartriangle BAD, \vartriangle DAQ είναι ίσα.

Συνεπώς, \angle DQC=\angle B, άρα \angle C=2\angle CQD=2\angle B, και η συνέχεια όπως πριν.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1454
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: H 36άρα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Ιουν 19, 2019 3:32 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Ιουν 19, 2019 10:35 am
Γνωστή, αλλά με πολλαπλές και ποικίλες λύσεις.
Η 36άρα.png
AD είναι η διχοτόμος ισοσκελούς τριγώνου ABC (AB=BC). Αν BD=AC, να δείξετε ότι \widehat B=36^\circ.

Για ένα 24ωρο μόνο για μαθητές, με ύλη μέχρι Γ' Γυμνασίου .


Μετά τη λήξη της προθεσμίας όλες οι λύσεις δεκτές και απ' όλους.
Ας αλλάξουμε φάκελο ...

Έστω, CD=y, BD=AC=x, AB=BC=x+y.

Από Θ. Εσωτερικής Διχοτόμου, \dfrac{x}{y}=\dfrac{x+y}{x}, οπότε θέτοντας \dfrac{y}{x}=t, προκύπτει t^2+t=1 \Rightarrow t=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} .

Άρα, \dfrac{BA}{AC}=\dfrac{x+y}{x}=1+t=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}.

Έστω, \angle BAD=\angle DAC=\phi, \angle BCA=2\phi, \angle ABC=180^\circ-4\phi.

Τότε, από Ν.Ημιτόνων, \dfrac{BA}{AC}=\dfrac{\sin 2\phi}{\sin 4\phi}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \Rightarrow \cos 2\phi=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4} =\cos 72^\circ, οπότε 2\phi=72^\circ \Rightarrow \angle A=\angle C=72^\circ \Rightarrow \angle B=36^\circ


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1454
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: H 36άρα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Ιουν 19, 2019 3:54 pm

Μία ακόμη ...

Πάλι, από Θ. Εσωτερικής διχοτόμου \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BA}{AC}.

Όμως, \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{BA}{AC}=\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{CA}{CD} \Rightarrow CA^2=CD \cdot CB, οπότε η CA εφάπτεται στον κύκλο (B,A,D), συνεπώς \angle DAC=\angle ABC \Rightarrow \angle A=2\angle B \Rightarrow \angle B=36^\circ.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8222
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: H 36άρα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιουν 19, 2019 4:08 pm

Συγχαρητήρια για κάθε λύση ξεχωριστά :clap2: :clap2: :clap2:


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3239
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: H 36άρα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Ιουν 19, 2019 5:11 pm

Ορέστη 5 :clap2:
shape.png
shape.png (13.67 KiB) Προβλήθηκε 746 φορές
Θέτω \angle A = \angle C = 2\omega ,\,CD = y και προεκτείνω την BC κατά CE = AC = BD = x

Από  \triangleleft EAD \sim  \triangleleft ACD \Rightarrow A{D^2} = y(x + y)\,\,(1)

Από θεώρημα εσ. διχοτόμου στο  \triangleleft ABC:{x^2} = y(x + y)\,\,(2)

Από (1),(2) \Rightarrow  \triangleleft ADC,\, \triangleleft EAD,\, \triangleleft ABE ισοσκελή, άρα 5\omega  = {180^ \circ } \Leftrightarrow \omega  = {36^ \circ }


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1039
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: H 36άρα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Ιουν 20, 2019 12:13 am

Καλό βράδυ σε όλους! Για τον Ορέστη να είμαστε καλά για να τον :clap2: και να τον θαυμάζουμε !
Μια απαγωγή..
Η 36άρα.PNG
Η 36άρα.PNG (7.03 KiB) Προβλήθηκε 709 φορές
Είναι \theta +4\omega =180^{0}. Αν \theta > 36^{0}\Leftrightarrow \omega < 36^{0}< \theta τότε

στο τρίγωνο BAD παίρνουμε k< AD ενώ στο DAC προκύπτει k > AD δηλ. ΑΤΟΠΟ.

Ομοίως αποκλείουμε \theta < 36^{0} . H τιμή \theta = 36^{0} ασφαλώς δεκτή. Φιλικά , Γιώργος.


Altrian
Δημοσιεύσεις: 171
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: H 36άρα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Πέμ Ιουν 20, 2019 9:59 am

Καλημέρα,
Μια ακόμα λύση (από τις λίγες που μας άφησε ο Ορέστης :clap2: )

Φέρνουμε FB=\left | \right |AC. FBCA παραλληλόγραμμο και εύκολα προκύπτουν οι γωνίες του σχήματος.
v+4u=180

Επειδή η BD φαίνεται από τα A,F υπό ίσες γωνίες \Rightarrow FBDA εγγράψιμο. Αρα u=v (από τα ίσα τόξα BD,BF). Τελικά 5u=180\Rightarrow u=v=36
Συνημμένα
36.png
36.png (29.63 KiB) Προβλήθηκε 687 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6620
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: H 36άρα

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιουν 20, 2019 1:16 pm

Όλες οι λύσεις που διάβασα είναι πολύ ωραίες :coolspeak:

Ο Ορέστης φυσικά μας "τουφέκισε" με βολές " κατά ριπάς " :clap: Του εύχομαι και σε όλα τα παιδιά της ολυμπιακής ομάδος νέων που βρίσκονται στη Κύπρο καλή επιτυχία
Α τρόπος
τριανταεξάρα_5.png
τριανταεξάρα_5.png (23.42 KiB) Προβλήθηκε 651 φορές
Γράφω το κύκλο (A,AB) που τέμνει την AC στο S. Στο ισοσκελές τρίγωνο ABS η ευθεία AD είναι και μεσοκάθετη στη βάση BS συνεπώς DB = DS.

Αλλά αφού BC = AB = AS \Rightarrow DC = CS και άρα το τρίγωνο CDS είναι ισοσκελές με κορυφή το C και θα έχει τις παρά τη βάση του DS μ γωνίες ίσες με \widehat \theta κάθε μια .

Τώρα όμως και το τρίγωνο DSA είναι ισοσκελές με κορυφή το D ( το οποίο είναι και περίκεντρο του \vartriangle ABS) ,

το δε \vartriangle ADC ισοσκελές με κορυφή το A έχει άθροισμα γωνιών : \widehat \theta  + 2\widehat \theta  + 2\widehat \theta  = 180^\circ  \Rightarrow \boxed{\widehat \theta  = 36^\circ }

Β τρόπος
τριανταεξάρα.png
τριανταεξάρα.png (15.74 KiB) Προβλήθηκε 651 φορές


Επειδή A{D^2} = AB \cdot AC - DB \cdot DC = (x + y)x - xy = {x^2} θα είναι AD = x = AC και από το ισοσκελές τρίγωνο ADC έχω \boxed{\widehat \theta  = 36^\circ }


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4367
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: H 36άρα

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Ιουν 20, 2019 7:13 pm

Καλησπέρα σε όλους. Τις ευχές μου για καλή επιτυχία στα παιδιά της Ολυμπιακής Ομάδας Νέων.\

Λίγες επιλογές έχουν μείνει. Θεωρούμε ένα κανονικό πολύγωνο εγγεγγραμμένο σε κύκλο. Τότε...


20-06-2019 Γεωμετρία.png
20-06-2019 Γεωμετρία.png (56.69 KiB) Προβλήθηκε 622 φορές

 \displaystyle AC = {\lambda _\nu } .

Επίσης, από Θ. Διχοτόμων, είναι  \displaystyle BD = BC \cdot \frac{{AB}}{{AB + AC}} = R \cdot \frac{R}{{R + {\lambda _\nu }}}

Οπότε,  \displaystyle BD = {\rm A}C \Leftrightarrow \frac{{{R^2}}}{{R + {\lambda _\nu }}} = {\lambda _\nu } \Leftrightarrow \lambda _\nu ^2 + R{\lambda _\nu } - {R^2} = 0 ,

άρα  \displaystyle {\lambda _\nu } = \frac{{\sqrt 5  - 1}}{2}R = \frac{R}{\varphi } \Rightarrow \nu  = 10 οπότε B = 36^0.
Συνημμένα
20-06-2019 Γεωμετρία.ggb
(32.18 KiB) Μεταφορτώθηκε 12 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1630
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: H 36άρα

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Ιουν 23, 2019 10:13 am

george visvikis έγραψε:
Τετ Ιουν 19, 2019 10:35 am
Γνωστή, αλλά με πολλαπλές και ποικίλες λύσεις. Η 36άρα.png
AD είναι η διχοτόμος ισοσκελούς τριγώνου ABC (AB=BC). Αν BD=AC, να δείξετε ότι \widehat B=36^\circ.

Για ένα 24ωρο μόνο για μαθητές, με ύλη μέχρι Γ' Γυμνασίου .


Μετά τη λήξη της προθεσμίας όλες οι λύσεις δεκτές και απ' όλους.

Θεωρούμε τον κύκλο \displaystyle \left( {C,b} \right) που τέμνεται από την \displaystyle AD στο \displaystyle E κι από την \displaystyle BC στο \displaystyle Z

Έστω ακόμη \displaystyle I το έκκεντρο του \displaystyle \vartriangle ABC

Είναι \displaystyle CE//AB \Rightarrow x = \angle Bκαι \displaystyle x = 2\omega (σχέση επίκεντρης-εγγεγραμμένης)

άρα \displaystyle B = 2\omega  \Rightarrow AIZB ισοσκελές τραπέζιο ,συνεπώς \displaystyle AD = BD = AC

Άρα \displaystyle B = \phi και \displaystyle C = 2\phi  \Rightarrow 5\phi  = {180^0} \Rightarrow \boxed{\phi  = {{36}^0}}
Συνημμένα
36.png
36.png (13.24 KiB) Προβλήθηκε 564 φορές


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1039
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: H 36άρα

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Ιουν 24, 2019 6:04 pm

Χαιρετώ. Συγχαρητήρια στις αποστολές και βεβαίως σε όλους τους μαθητές Ελλάδας και Κύπρου που συμμετείχαν στην JBMO 2019 !!
Μια ακόμη με ..περιπλάνηση και χρήση του σχήματος:
Η 36-άρα.PNG
Η 36-άρα.PNG (8.41 KiB) Προβλήθηκε 510 φορές
Αν BE=BD=AC=k τότε DE \parallel AC και AE=ED=DC=y

Δείχνω την σχέση AB^{2}=AB\cdot BD+AD^{2}..\left ( 1 \right ) . Πράγματι \left ( 1 \right )\Leftrightarrow \left ( k+y \right )^{2}=\left ( k+y \right )k+AD^{2}\Leftrightarrow AD^{2}=y^{2}+ky

που ισχύει από το θ. Πτολεμαίου στο εγγράψιμο AEDC.

Από την (1) όπως εδώ προκύπτει \angle ADB=\pi/2+\theta/2 \Rightarrow 3\omega =\pi /2+\theta/2 ενώ και \theta +4\omega =\pi . Απ' αυτές παίρνουμε \theta =\omega =\pi /5.
Φιλικά , Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: SemrushBot και 2 επισκέπτες