H 36άρα
Συντονιστής: polysot
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
H 36άρα
Γνωστή, αλλά με πολλαπλές και ποικίλες λύσεις.
Για ένα 24ωρο μόνο για μαθητές, με ύλη μέχρι Γ' Γυμνασίου .
Μετά τη λήξη της προθεσμίας όλες οι λύσεις δεκτές και απ' όλους.
είναι η διχοτόμος ισοσκελούς τριγώνου Αν να δείξετε ότι Για ένα 24ωρο μόνο για μαθητές, με ύλη μέχρι Γ' Γυμνασίου .
Μετά τη λήξη της προθεσμίας όλες οι λύσεις δεκτές και απ' όλους.
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: H 36άρα
Καλησπέρα Γιώργο!george visvikis έγραψε: ↑Τετ Ιουν 19, 2019 10:35 amΓνωστή, αλλά με πολλαπλές και ποικίλες λύσεις. είναι η διχοτόμος ισοσκελούς τριγώνου Αν να δείξετε ότι
Για ένα 24ωρο μόνο για μαθητές, με ύλη μέχρι Γ' Γυμνασίου .
Μετά τη λήξη της προθεσμίας όλες οι λύσεις δεκτές και απ' όλους.
Έστω ότι η κάθετη από το προς την τέμνει την στο . Τότε, με στο τρίγωνο η είναι διχοτόμος και ύψος, άρα το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές, με .
Ακόμη, έχουμε , άρα τα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε (1).
Επίσης, είναι , από τα προαναφερθέντα ίσα τρίγωνα. Άρα, το είναι ισοσκελές, οπότε (2).
Από (1), (2), προκύπτει , οπότε έχουμε , και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: H 36άρα
Εναλλακτικά ...george visvikis έγραψε: ↑Τετ Ιουν 19, 2019 10:35 amΓνωστή, αλλά με πολλαπλές και ποικίλες λύσεις. είναι η διχοτόμος ισοσκελούς τριγώνου Αν να δείξετε ότι
Για ένα 24ωρο μόνο για μαθητές, με ύλη μέχρι Γ' Γυμνασίου .
Μετά τη λήξη της προθεσμίας όλες οι λύσεις δεκτές και απ' όλους.
Έστω ότι, η παράλληλη από το προς την τέμνει την στο .
Τότε, έχουμε ότι .
Επίσης, έχουμε , και αφού , προκύπτει .
Οπότε, .
Τα τρίγωνα, έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες, οπότε είναι ίσα (Π-Π-Π), συνεπώς , και η συνέχεια είναι ίδια με την προηγούμενη λύση.
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Τετ Ιουν 19, 2019 3:55 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: H 36άρα
Και μια τρίτη ...george visvikis έγραψε: ↑Τετ Ιουν 19, 2019 10:35 amΓνωστή, αλλά με πολλαπλές και ποικίλες λύσεις. είναι η διχοτόμος ισοσκελούς τριγώνου Αν να δείξετε ότι
Για ένα 24ωρο μόνο για μαθητές, με ύλη μέχρι Γ' Γυμνασίου .
Μετά τη λήξη της προθεσμίας όλες οι λύσεις δεκτές και απ' όλους.
Έστω, ότι ο κύκλος τέμνει την προέκταση της (προς το ) στο .
Τότε, είναι , οπότε , άρα , και αφού , τα τρίγωνα είναι ίσα.
Συνεπώς, , άρα , και η συνέχεια όπως πριν.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: H 36άρα
Ας αλλάξουμε φάκελο ...george visvikis έγραψε: ↑Τετ Ιουν 19, 2019 10:35 amΓνωστή, αλλά με πολλαπλές και ποικίλες λύσεις. είναι η διχοτόμος ισοσκελούς τριγώνου Αν να δείξετε ότι
Για ένα 24ωρο μόνο για μαθητές, με ύλη μέχρι Γ' Γυμνασίου .
Μετά τη λήξη της προθεσμίας όλες οι λύσεις δεκτές και απ' όλους.
Έστω, .
Από Θ. Εσωτερικής Διχοτόμου, , οπότε θέτοντας , προκύπτει .
Άρα, .
Έστω, .
Τότε, από Ν.Ημιτόνων, , οπότε
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: H 36άρα
Μία ακόμη ...
Πάλι, από Θ. Εσωτερικής διχοτόμου .
Όμως, , οπότε η εφάπτεται στον κύκλο , συνεπώς .
Πάλι, από Θ. Εσωτερικής διχοτόμου .
Όμως, , οπότε η εφάπτεται στον κύκλο , συνεπώς .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3531
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: H 36άρα
Ορέστη 5
Από
Από θεώρημα εσ. διχοτόμου στο
Από ισοσκελή, άρα
Θέτω και προεκτείνω την κατά Από
Από θεώρημα εσ. διχοτόμου στο
Από ισοσκελή, άρα
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: H 36άρα
Καλό βράδυ σε όλους! Για τον Ορέστη να είμαστε καλά για να τον και να τον θαυμάζουμε !
Μια απαγωγή.. Είναι . Αν τότε
στο τρίγωνο παίρνουμε ενώ στο προκύπτει δηλ. ΑΤΟΠΟ.
Ομοίως αποκλείουμε . H τιμή ασφαλώς δεκτή. Φιλικά , Γιώργος.
Μια απαγωγή.. Είναι . Αν τότε
στο τρίγωνο παίρνουμε ενώ στο προκύπτει δηλ. ΑΤΟΠΟ.
Ομοίως αποκλείουμε . H τιμή ασφαλώς δεκτή. Φιλικά , Γιώργος.
Re: H 36άρα
Καλημέρα,
Μια ακόμα λύση (από τις λίγες που μας άφησε ο Ορέστης )
Φέρνουμε . παραλληλόγραμμο και εύκολα προκύπτουν οι γωνίες του σχήματος.
Επειδή η φαίνεται από τα υπό ίσες γωνίες εγγράψιμο. Αρα (από τα ίσα τόξα . Τελικά
Μια ακόμα λύση (από τις λίγες που μας άφησε ο Ορέστης )
Φέρνουμε . παραλληλόγραμμο και εύκολα προκύπτουν οι γωνίες του σχήματος.
Επειδή η φαίνεται από τα υπό ίσες γωνίες εγγράψιμο. Αρα (από τα ίσα τόξα . Τελικά
- Συνημμένα
-
- 36.png (29.63 KiB) Προβλήθηκε 1871 φορές
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Re: H 36άρα
Όλες οι λύσεις που διάβασα είναι πολύ ωραίες
Ο Ορέστης φυσικά μας "τουφέκισε" με βολές " κατά ριπάς " Του εύχομαι και σε όλα τα παιδιά της ολυμπιακής ομάδος νέων που βρίσκονται στη Κύπρο καλή επιτυχία
Α τρόπος Γράφω το κύκλο που τέμνει την στο . Στο ισοσκελές τρίγωνο η ευθεία είναι και μεσοκάθετη στη βάση συνεπώς .
Αλλά αφού και άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές με κορυφή το και θα έχει τις παρά τη βάση του μ γωνίες ίσες με κάθε μια .
Τώρα όμως και το τρίγωνο είναι ισοσκελές με κορυφή το ( το οποίο είναι και περίκεντρο του ) ,
το δε ισοσκελές με κορυφή το έχει άθροισμα γωνιών :
Β τρόπος
Επειδή θα είναι και από το ισοσκελές τρίγωνο έχω
Ο Ορέστης φυσικά μας "τουφέκισε" με βολές " κατά ριπάς " Του εύχομαι και σε όλα τα παιδιά της ολυμπιακής ομάδος νέων που βρίσκονται στη Κύπρο καλή επιτυχία
Α τρόπος Γράφω το κύκλο που τέμνει την στο . Στο ισοσκελές τρίγωνο η ευθεία είναι και μεσοκάθετη στη βάση συνεπώς .
Αλλά αφού και άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές με κορυφή το και θα έχει τις παρά τη βάση του μ γωνίες ίσες με κάθε μια .
Τώρα όμως και το τρίγωνο είναι ισοσκελές με κορυφή το ( το οποίο είναι και περίκεντρο του ) ,
το δε ισοσκελές με κορυφή το έχει άθροισμα γωνιών :
Β τρόπος
Επειδή θα είναι και από το ισοσκελές τρίγωνο έχω
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: H 36άρα
Καλησπέρα σε όλους. Τις ευχές μου για καλή επιτυχία στα παιδιά της Ολυμπιακής Ομάδας Νέων.\
Λίγες επιλογές έχουν μείνει. Θεωρούμε ένα κανονικό πολύγωνο εγγεγγραμμένο σε κύκλο. Τότε...
.
Επίσης, από Θ. Διχοτόμων, είναι
Οπότε, ,
άρα οπότε .
Λίγες επιλογές έχουν μείνει. Θεωρούμε ένα κανονικό πολύγωνο εγγεγγραμμένο σε κύκλο. Τότε...
.
Επίσης, από Θ. Διχοτόμων, είναι
Οπότε, ,
άρα οπότε .
- Συνημμένα
-
- 20-06-2019 Γεωμετρία.ggb
- (32.18 KiB) Μεταφορτώθηκε 31 φορές
-
- Δημοσιεύσεις: 2753
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: H 36άρα
george visvikis έγραψε: ↑Τετ Ιουν 19, 2019 10:35 amΓνωστή, αλλά με πολλαπλές και ποικίλες λύσεις. Η 36άρα.png
είναι η διχοτόμος ισοσκελούς τριγώνου Αν να δείξετε ότι
Για ένα 24ωρο μόνο για μαθητές, με ύλη μέχρι Γ' Γυμνασίου .
Μετά τη λήξη της προθεσμίας όλες οι λύσεις δεκτές και απ' όλους.
Θεωρούμε τον κύκλο που τέμνεται από την στο κι από την στο
Έστω ακόμη το έκκεντρο του
Είναι και (σχέση επίκεντρης-εγγεγραμμένης)
άρα ισοσκελές τραπέζιο ,συνεπώς
Άρα και
- Συνημμένα
-
- 36.png (13.24 KiB) Προβλήθηκε 1748 φορές
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: H 36άρα
Χαιρετώ. Συγχαρητήρια στις αποστολές και βεβαίως σε όλους τους μαθητές Ελλάδας και Κύπρου που συμμετείχαν στην JBMO 2019 !!
Μια ακόμη με ..περιπλάνηση και χρήση του σχήματος: Αν τότε και
Δείχνω την σχέση . Πράγματι
που ισχύει από το θ. Πτολεμαίου στο εγγράψιμο .
Από την όπως εδώ προκύπτει ενώ και . Απ' αυτές παίρνουμε .
Φιλικά , Γιώργος.
Μια ακόμη με ..περιπλάνηση και χρήση του σχήματος: Αν τότε και
Δείχνω την σχέση . Πράγματι
που ισχύει από το θ. Πτολεμαίου στο εγγράψιμο .
Από την όπως εδώ προκύπτει ενώ και . Απ' αυτές παίρνουμε .
Φιλικά , Γιώργος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες