Από ισοσκελές σε ισοσκελές

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8678
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Από ισοσκελές σε ισοσκελές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιούλ 06, 2019 10:08 am

Από ισοσκελές... σε ισοσκελές.png
Από ισοσκελές... σε ισοσκελές.png (15.07 KiB) Προβλήθηκε 455 φορές
Το ABCD είναι ρόμβος με οξεία γωνία στο A. Τα σημεία M, N βρίσκονται πάνω στα τμήματα AC, BC ώστε MD=MN.

Αν P είναι το σημείο τομής των AC, DN και R το σημείο τομής των AB, DM, να δείξετε ότι PR=PD.

Μέχρι τα πρώτα Exit Polls


Και μία ερώτηση κρίσεως. Θα βάζατε αυτή την άσκηση σε προχωρημένο επίπεδο Seniors;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1526
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Από ισοσκελές σε ισοσκελές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Ιούλ 06, 2019 11:19 am

george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιούλ 06, 2019 10:08 am
Από ισοσκελές... σε ισοσκελές.png
Το ABCD είναι ρόμβος με οξεία γωνία στο A. Τα σημεία M, N βρίσκονται πάνω στα τμήματα AC, BC ώστε MD=MN.

Αν P είναι το σημείο τομής των AC, DN και R το σημείο τομής των AB, DM, να δείξετε ότι PR=PD.

Μέχρι τα πρώτα Exit Polls


Και μία ερώτηση κρίσεως. Θα βάζατε αυτή την άσκηση σε προχωρημένο επίπεδο Seniors;
Καλημέρα Γιώργο!

Το ABCD είναι ρόμβος, οπότε \angle DCA=\angle ACB, άρα \angle DCM=\angle MCN. Ακόμη, MD=MN οπότε από το έμμεσο κριτήριο ισότητας τριγώνων προκύπτει ότι \angle CDM=\angle CNM ή \angle CDM+\angle CNM=\pi.

Αν ισχύει το πρώτο, τα τρίγωνα \vartriangle CDM, \vartriangle CMN είναι ίσα, οπότε CD=CN<CB=CD, άτοπο.

Άρα, \angle CDM+\angle CNM=\pi οπότε το CDMN είναι εγγράψιμο, οπότε \angle DCM=\angle MCN=\angle NDM=\angle DNM=\phi, οπότε και :

\angle PAR=\angle CAB=\angle DCA=\phi=\angle PDR \Rightarrow \angle PAR=\angle PDR \Rightarrow PDAR εγγράψιμο.

Άρα, \angle PDR=\angle PAR=\phi=\angle PAD=\angle PRD \Rightarrow \angle PDR=\angle PRD \Rightarrow PD=PR και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

(Απάντηση στην ερώτηση κρίσεως :) : Όχι δεν ταιριάζει σε καμία περίπτωση στο Προχωρημένο Επίπεδο Seniors).


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Από ισοσκελές σε ισοσκελές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Σάβ Ιούλ 06, 2019 3:10 pm

Γειά σας!
Φέρω την διαγώνιο BD του ρόμβου οπότε έχω \widehat{BDM}=\widehat{DBM}=\omega και \widehat{MBP}=\widehat{MDP}=\widehat{DNM}=\vartheta.Το τετράπλευρο MPNB είναι εγγράψιμο, οπότε θα έχω \widehat{PMN}=\widehat{PBN}. Τώρα στα τρίγωνα MNC και PBC έχουμε \widehat{CMN}=\widehat{PBN} και \widehat{MCB} κοινή, άρα και \widehat{MNC}=\widehat{BPC}=\widehat{MPN}, άρα θα είναι και \widehat{PNM}=\widehat{PCN}. Στο τετράπλευρο DPRA έχουμε \widehat{DRA}=\vartheta +\zeta =\widehat{DPA} άρα εγγράψιμο, οπότε \widehat{DAC}=\widehat{DRP}=\vartheta, δηλαδή το DPR είναι ισοσκελές, οπότε DP=PR
(Θα συμφωνήσω με τον Ορέστη, πως η άσκηση δεν είναι για προχωρημένο επίπεδο Seniors)
Από ισοσκελές σε ισοσκελές.PNG
Από ισοσκελές σε ισοσκελές.PNG (52.62 KiB) Προβλήθηκε 389 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1725
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Από ισοσκελές σε ισοσκελές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Ιούλ 06, 2019 4:05 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιούλ 06, 2019 10:08 am
Από ισοσκελές... σε ισοσκελές.png
Το ABCD είναι ρόμβος με οξεία γωνία στο A. Τα σημεία M, N βρίσκονται πάνω στα τμήματα AC, BC ώστε MD=MN.

Αν P είναι το σημείο τομής των AC, DN και R το σημείο τομής των AB, DM, να δείξετε ότι PR=PD.

Μέχρι τα πρώτα Exit Polls


Και μία ερώτηση κρίσεως. Θα βάζατε αυτή την άσκηση σε προχωρημένο επίπεδο Seniors;

Με \displaystyle ME \bot DN \Rightarrow E μέσον του \displaystyle DN άρα \displaystyle EO//DA και \displaystyle DOME εγγράψιμο

Έτσι οι σημειωμένες πράσινες γωνίες είναι ίσες άρα \displaystyle DPRA εγγράψιμο\displaystyle  \Rightarrow \boxed{DP = PR}

(Γιώργο, τώρα πρόσεξα ότι η άσκηση ήταν μόνο για μαθητές...)
Από ισοσκελές σε ισοσκελές.png
Από ισοσκελές σε ισοσκελές.png (31.99 KiB) Προβλήθηκε 359 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8678
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Από ισοσκελές σε ισοσκελές

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιούλ 09, 2019 4:27 pm

Ευχαριστώ τον Ορέστη, τον Θεοδόσιο και τον Μιχάλη για τις ωραίες λύσεις τους.

Η άσκηση είναι από το Germany Team Selection Test 2010!


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης