Κι άλλη καθετότητα

#1

: Κι άλλη καθετότητα.png (10.91 KiB) Προβλήθηκε 1080 φορές

Έστω

σημείο της υποτείνουσας

ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ABC,

έτσι ώστε

Αν

είναι το μέσο της AC,

Να δείξετε ότι $AP\bot BM.$

Ένα 24ωρο αποκλειστικά για μαθητές.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 10, 2019 6:31 pm
Κι άλλη καθετότητα.png
Έστω σημείο της υποτείνουσας ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου έτσι ώστε

Αν είναι το μέσο της Να δείξετε ότι $AP\bot BM.$

Ένα 24ωρο αποκλειστικά για μαθητές.

Καλησπέρα!

Φέρω το ύψος

και έτσι το $G\equiv AL\cap BM$ είναι βαρύκεντρο του ABC

άρα $AG=PC=a,GL=LP=\dfrac{a}{2}$

Έτσι έχουμε $\dfrac{GL}{BL}=\dfrac{PL}{AL}$ άρα $\widehat{GAK}=\widehat{LBM}$
Άρα $AP\perp BM$

: 87.PNG (14.86 KiB) Προβλήθηκε 1064 φορές

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 10, 2019 6:31 pm
Κι άλλη καθετότητα.png
Έστω σημείο της υποτείνουσας ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου έτσι ώστε

Αν είναι το μέσο της Να δείξετε ότι $AP\bot BM.$

Ένα 24ωρο αποκλειστικά για μαθητές.

Διαφορετικά:
Αν PC=a

και

το μέσο του

έχουμε $AC=\dfrac{3\sqrt{2}a}{2}$ .
Είναι $BP=2a,ΑΚ^2=\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{9a^2}{4}=\dfrac{10a^2}{4}$ και 2MP=AK

$AM^2-MP^2=\dfrac{9}{8}a^2-\dfrac{10a^2}{16}=\dfrac{a^2}{2}=\dfrac{9}{2}a^2-4a^2=BP^2-BA^2$
οπότε από την συνθήκη καθετότητας έχουμε το ζητούμενο.

Ιστοσελίδα · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 10, 2019 6:31 pm

Έστω σημείο της υποτείνουσας ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου έτσι ώστε

Αν είναι το μέσο της Να δείξετε ότι $AP\bot BM.$

Ένα 24ωρο αποκλειστικά για μαθητές.

Καλημέρα!

: shape.png (29.59 KiB) Προβλήθηκε 1002 φορές

Από το

φέρνω κάθετη στην

και έστω

τα σημεία τομής με τις BM,BA

αντίστοιχα.

Από το εγγράψιμο ABCD

οι πράσινες γωνίες είναι ίσες και τα ορθογώνια τρίγωνα ABM,CAE

είναι και αυτά ίσα.

Από αντίστροφο Θαλή: $AP\parallel EC$ και το ζητούμενο έπεται.

Ιστοσελίδα · #5

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 10, 2019 6:31 pm

Έστω σημείο της υποτείνουσας ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου έτσι ώστε

Αν είναι το μέσο της Να δείξετε ότι $AP\bot BM.$

Ένα 24ωρο αποκλειστικά για μαθητές.

Άλλη μια…

: shape2.png (9.94 KiB) Προβλήθηκε 990 φορές

Αν $PD \bot AC$ , τότε από Θαλή: AD = 2DC = 2k

Τα ορθογώνια $\triangleleft BAM, \triangleleft ADP$ είναι όμοια, οι πράσινες γωνίες είναι ίσες και από το εγγράψιμο MEPD

το ζητούμενο έπεται.

KARKAR · #6

Πρόκειται για ένα από τα δημοφιλέστερα θέματα του

. Δείτε π.χ. εδώ

Γιώργος Μήτσιος · #7

Καλό δειλινό ! Πράγματι άκρως ελκυστικό το θέμα!
Μια ακόμη προσέγγιση

: Καθετότητα G.V.PNG (9.22 KiB) Προβλήθηκε 879 φορές

Φέρω $MN\parallel AEP$ και $NH\perp AC$ . Έστω AB=AC=6

οπότε $AM=MC=3...BC=6\sqrt{2}$

Εύκολα βρίσκουμε $PN=NC=\sqrt{2}...NH=HC=1...MH=2$ .

Τα ορθ. τρίγωνα BAM,MHN

είναι όμοια κι' έτσι

$\widehat{BMN}+\theta =\widehat{BMC}=\widehat{BAM}+\theta \Rightarrow \widehat{BEP}=\widehat{BMN}=\widehat{BAM}=90^{0}$ . Φιλικά , Γιώργος.

#8

Καλησπέρα σε όλους!

Το αντίστροφο αυτής (δίνεται η καθετότητα και ζητείται να δειχτεί ότι BP=2PC

) μπήκε φέτος σε

διαγωνισμό στη Σιγκαπούρη. Καμία πρωτοτυπία βέβαια, δεδομένου ότι η άσκηση είναι πολύ παλιά.

Κι άλλη καθετότητα

Κι άλλη καθετότητα

Re: Κι άλλη καθετότητα

Re: Κι άλλη καθετότητα

Re: Κι άλλη καθετότητα

Re: Κι άλλη καθετότητα

Re: Κι άλλη καθετότητα

Re: Κι άλλη καθετότητα

Re: Κι άλλη καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση