Λόγος καθέτων πλευρών

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9364
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Λόγος καθέτων πλευρών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιούλ 30, 2019 6:22 pm

Λόγος καθέτων πλευρών.png
Λόγος καθέτων πλευρών.png (8.08 KiB) Προβλήθηκε 342 φορές
Έστω P σημείο της υποτείνουσας BC ορθογωνίου τριγώνου ABC, ώστε PB=2PC.

Αν επιπλέον PA=\dfrac{3PB}{4}, να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{b}{c}.


24 ώρες μόνο για μαθητές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Λόγος καθέτων πλευρών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Ιούλ 31, 2019 12:04 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Ιούλ 30, 2019 6:22 pm
Λόγος καθέτων πλευρών.png

Έστω P σημείο της υποτείνουσας BC ορθογωνίου τριγώνου ABC, ώστε PB=2PC.

Αν επιπλέον PA=\dfrac{3PB}{4}, να υπολογίσετε το λόγο \dfrac{b}{c}.


24 ώρες μόνο για μαθητές
Θέτω CP=k,\cos\widehat{APB}=x

Με νόμο συνημιτόνων στα APB,APC και πυθαγόρειο στο ABC είναι \left\{\begin{matrix} & b^2=\dfrac{9}{4}k^2+k^2+2k\dfrac{3}{2}kx & \\ & c^2=4k^2+\dfrac{9}{4}k^2-2\dfrac{3}{2}k\cdot 2kx & \\ & b^2+c^2=9k^2& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & b^2=\dfrac{15}{4}k^2 & \\ & c^2=\dfrac{21}{4}k^2 & \\ & x=\dfrac{1}{6} & \end{matrix}\right.\Rightarrow \dfrac{b}{c}=\sqrt{\dfrac{5}{7}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7207
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Λόγος καθέτων πλευρών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Αύγ 02, 2019 11:31 am

Ας είναι O το μέσο του BC = 12k,\,\,k > 0 και AT το ύψος προς την υποτείνουσα.

Θα είναι: \left\{ \begin{gathered} 
  PC = 4k\,\,\,,\,\,PB = 8k \hfill \\ 
  AP = \frac{3}{4}8k = 6k \hfill \\ 
  AO = \frac{{BC}}{2} = 6k \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
Λόγος καθέτων πλευρών.png
Λόγος καθέτων πλευρών.png (15.77 KiB) Προβλήθηκε 218 φορές
Έτσι στο ισοσκελές τρίγωνο AOP το ύψος του AT είναι και διάμεσος άρα

TO = TP = k \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  BT = 7k\,\, \hfill \\ 
  TC = 5k \hfill \\  
\end{gathered}  \right.. Επειδή \dfrac{{{b^2}}}{{{c^2}}} = \dfrac{{TC}}{{TB}} = \dfrac{5}{7} \Rightarrow \boxed{\dfrac{b}{c} = \sqrt {\dfrac{5}{7}} }.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες