Θέση για ομοκυκλικά

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8431
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Θέση για ομοκυκλικά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Αύγ 07, 2019 6:06 pm

Θέση για ομοκυκλικά.png
Θέση για ομοκυκλικά.png (16.44 KiB) Προβλήθηκε 304 φορές
Έστω M, N τα μέσα των πλευρών AC, AB τριγώνου ABC και D σημείο της πλευράς BC. Οι DN, MD

τέμνουν τις CA, AB στα E, F. Να βρείτε τη θέση του D ώστε τα σημεία A, E, F, D να είναι ομοκυκλικά.

24 ώρες για όσους μαθητές δεν λείπουν σε διακοπές :surfing:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1475
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Θέση για ομοκυκλικά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Αύγ 07, 2019 11:53 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Αύγ 07, 2019 6:06 pm
Θέση για ομοκυκλικά.png
Έστω M, N τα μέσα των πλευρών AC, AB τριγώνου ABC και D σημείο της πλευράς BC. Οι DN, MD

τέμνουν τις CA, AB στα E, F. Να βρείτε τη θέση του D ώστε τα σημεία A, E, F, D να είναι ομοκυκλικά.

24 ώρες για όσους μαθητές δεν λείπουν σε διακοπές :surfing:
Καλησπέρα Γιώργο!

Τα A,E,F,D είναι ομοκυκλικά, οπότε \angle NDM=180^\circ-\angle EDF=180^\circ-\angle EAF=\angle A. Άρα, \angle NDM=\angle A.

Έστω S το μέσον της BC οπότε αφού το ANSM είναι προφανώς παραλληλόγραμμο, \angle NSM=\angle A=\angle NDM, συνεπώς το NDSM είναι εγγράψιμο.

Όμως, ο κύκλος (N,M,S) είναι ο κύκλος Euler του \vartriangle ABC και ως γνωστόν τέμνει για δεύτερη φορά τη BC στο ίχνος του ύψους από το A.

Συνεπώς, το D είναι το ίχνος του ύψους από το A.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8431
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Θέση για ομοκυκλικά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Αύγ 08, 2019 4:53 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Τετ Αύγ 07, 2019 11:53 pm
george visvikis έγραψε:
Τετ Αύγ 07, 2019 6:06 pm
Θέση για ομοκυκλικά.png
Έστω M, N τα μέσα των πλευρών AC, AB τριγώνου ABC και D σημείο της πλευράς BC. Οι DN, MD

τέμνουν τις CA, AB στα E, F. Να βρείτε τη θέση του D ώστε τα σημεία A, E, F, D να είναι ομοκυκλικά.

24 ώρες για όσους μαθητές δεν λείπουν σε διακοπές :surfing:
Καλησπέρα Γιώργο!

Τα A,E,F,D είναι ομοκυκλικά, οπότε \angle NDM=180^\circ-\angle EDF=180^\circ-\angle EAF=\angle A. Άρα, \angle NDM=\angle A.

Έστω S το μέσον της BC οπότε αφού το ANSM είναι προφανώς παραλληλόγραμμο, \angle NSM=\angle A=\angle NDM, συνεπώς το NDSM είναι εγγράψιμο.

Όμως, ο κύκλος (N,M,S) είναι ο κύκλος Euler του \vartriangle ABC και ως γνωστόν τέμνει για δεύτερη φορά τη BC στο ίχνος του ύψους από το A.

Συνεπώς, το D είναι το ίχνος του ύψους από το A.

Κίνηση ματ!!! :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης