Πλευρές τετραπλεύρου (Γεωμετρία Β)

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9192
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Πλευρές τετραπλεύρου (Γεωμετρία Β)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Αύγ 31, 2019 6:09 pm

Πλευρές τετραπλεύρου.png
Πλευρές τετραπλεύρου.png (16.72 KiB) Προβλήθηκε 294 φορές
Τετράπλευρο ABCD είναι εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο διαμέτρου AB και P είναι ένα σημείο της διαγωνίου AC,

ώστε AP=PC=2PD. Αν PD=a και A\widehat DP=A\widehat BC, να υπολογίσετε συναρτήσει του a τα μήκη των

πλευρών του τετραπλεύρου.


24 ώρες στους μαθητές.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 731
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Πλευρές τετραπλεύρου (Γεωμετρία Β)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Σεπ 01, 2019 12:58 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Αύγ 31, 2019 6:09 pm
Πλευρές τετραπλεύρου.png
Τετράπλευρο ABCD είναι εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο διαμέτρου AB και P είναι ένα σημείο της διαγωνίου AC,

ώστε AP=PC=2PD. Αν PD=a και A\widehat DP=A\widehat BC, να υπολογίσετε συναρτήσει του a τα μήκη των

πλευρών του τετραπλεύρου.


24 ώρες στους μαθητές.

Καλημέρα!
Θεωρώ D' το συμμετρικό του D ως προς το P .

Το DCD'A είναι παραλληλόγραμμο : \left\{\begin{matrix} & \angle ADC=180^{\circ}-\vartheta & \\ & \angle ADC=180^{\circ}-\angle DCD' & \end{matrix}\right.\Rightarrow \angle DCD'=\vartheta

Δηλαδή 2a=DD'=AP=DC.

Από το πρώτο θεώρημα διαμέσων στο ADC είναι 4a^2=2AD^2+2\left ( 2a \right )^2-(4a)^2\Leftrightarrow AD=a\sqrt{6}

Με νόμο συνημιτόνων στο ADD' παίρνουμε \cos\vartheta =\dfrac{\sqrt{6}}{4} ,
Από το ορθογώνιο ABC έχουμε εύκολα AB=\dfrac{8\sqrt{10}a}{5},BC=\dfrac{4\sqrt{15}a}{5}
121.PNG
121.PNG (32.83 KiB) Προβλήθηκε 206 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7131
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Πλευρές τετραπλεύρου (Γεωμετρία Β)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Σεπ 01, 2019 1:11 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Κυρ Σεπ 01, 2019 12:58 pm
george visvikis έγραψε:
Σάβ Αύγ 31, 2019 6:09 pm
Πλευρές τετραπλεύρου.png
Τετράπλευρο ABCD είναι εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο διαμέτρου AB και P είναι ένα σημείο της διαγωνίου AC,

ώστε AP=PC=2PD. Αν PD=a και A\widehat DP=A\widehat BC, να υπολογίσετε συναρτήσει του a τα μήκη των

πλευρών του τετραπλεύρου.


24 ώρες στους μαθητές.

Καλημέρα!
Θεωρώ D' το συμμετρικό του D ως προς το P .

Το DCD'A είναι παραλληλόγραμμο : \left\{\begin{matrix} & \angle ADC=180^{\circ}-\vartheta & \\ & \angle ADC=180^{\circ}-\angle DCD' & \end{matrix}\right.\Rightarrow \angle DCD'=\vartheta

Δηλαδή 2a=DD'=AP=DC.

Από το πρώτο θεώρημα διαμέσων στο ADC είναι 4a^2=2AD^2+2\left ( 2a \right )^2-(4a)^2\Leftrightarrow AD=a\sqrt{6}

Με νόμο συνημιτόνων στο ADD' παίρνουμε \cos\vartheta =\dfrac{\sqrt{6}}{4} ,
Από το ορθογώνιο ABC έχουμε εύκολα AB=\dfrac{8\sqrt{10}a}{5},BC=\dfrac{4\sqrt{15}a}{5}

121.PNG
Μπράβο Πρόδρομε

Όλα τα λεφτά είναι η η απόδειξη : DC=2a . Έχει κι άλλες αποδείξεις γι αυτό με ή όχι στοιχειώδη μέσα. Αργότερα θα βάλω μια .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης