Περιοδικός δεκαδικός ίσος με κλάσμα

#1

Να βρεθούν αριθμοί τέτοιοι ώστε

$\displaystyle{ \dfrac {SOS}{EKTO}=0,EKTOSEKTOS...}$ (περιοδικός δεκαδικός)

Ως συνήθως ίδια γράμματα δηλώνουν ίδιο ψηφίο, ενώ διαφορετικά γράμματα είναι διαφορετικά ψηφία.

Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές μας.

Summand · #2

Διασκεδαστικό και ενδιαφέρον πρόβλημα!

Είναι $\frac{\overline{SOS}}{\overline{EKTO}}=0,EKTOSEKTOS...\Leftrightarrow \frac{\overline{SOS}}{\overline{EKTO}}=\frac{\overline{EKTOS}}{99999}$

Θέτουμε $m=\overline{EKTO}\Leftrightarrow \overline{EKTOS}=10m+s$ άρα η δοθείσα γράφεται $\frac{\overline{SOS}}{m}=\frac{10m+s}{99999}$

Παρατηρούμε ότι $99999=3^{2}\cdot 41\cdot 271$ και ότι ο 99999

πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του

αφού όλοι οι αριθμητές και παρονομαστές είναι ακέραιοι.

Επιπλέον παρατηρούμε ότι $41\cdot 271=11111$ άρα οι

και

δεν μπορούν να είναι και οι δύο παράγοντες του

αφού τα ψηφία του είναι ανά δύο διαφορετικά μεταξύ τους.

Ο

είναι τετραψήφιος. Έχουμε $9\cdot 41=369<1000$ και $3\cdot 271=813<1000$ άρα πρέπει $m=9\cdot 271=2439>1000$ που ικανοποιεί και τις δεδομένες συνθήκες.

Αντικαθιστώντας τα ψηφία του

στην αρχική παίρνουμε ότι s=5

#3

αλλά προσοχή, το σημείο

Summand έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 22, 2019 3:53 am

... και ότι ο πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του αφού όλοι οι αριθμητές και παρονομαστές είναι ακέραιοι.

θέλει λίγο χτένισμα. Ας σημειώσω ότι από την ισότητα $99999\cdot \overline {SOS} = m (10m+s)$ δεν βγαίνει αβίαστα το συμπέρασμα
ότι 99999

πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του

. Για παράδειγμα στην ισότητα $35\cdot 3= 15\cdot 7$ δεν μπορούμε να πούμε ότι ο

είναι πολλαπλάσιο του

.
Πάντως το σημείο αυτό φτιάχνει εύκολα, με βάση αυτά που έγραψες. Η τελική απάντηση είναι σωστή.

Περιοδικός δεκαδικός ίσος με κλάσμα

Περιοδικός δεκαδικός ίσος με κλάσμα

Re: Περιοδικός δεκαδικός ίσος με κλάσμα

Re: Περιοδικός δεκαδικός ίσος με κλάσμα

Μέλη σε σύνδεση