Διαιρέτης αθροίσματος

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11540
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Διαιρέτης αθροίσματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Οκτ 25, 2019 11:01 am

Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός 1000(1000+1)(1000^2+1) διαιρεί το άθροισμα

1000^1+1000^2+1000^3+...+1000^{1000}

(Κατάλληλη για μαθητές Γυμνασίου).



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1496
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Διαιρέτης αθροίσματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Παρ Οκτ 25, 2019 3:00 pm

Καλησπέρα κ. Μιχάλη!

Όμορφη άσκηση! :)

Έστω x \in \mathbb{N^*}.

Έχω, x^{1000}-1=(x^4)^{250}-1= (x^4-1)( \ldots), άρα x^4-1 \mid x^{1000}-1, οπότε (x-1)(x+1)(x^2+1) \mid (x-1)(x^{999}+ \ldots +x+1), άρα (x+1)(x^2+1) \mid x^{999}+ \ldots +x+1.

Πολλαπλασιάζω τώρα και τα δύο μέλη της παραπάνω διαιρετότητας με x, και προκύπτει x(x+1)(x^2+1) \mid x^{1000}+x^{999}+ \ldots +x.

Τέλος, θέτω x=1000 και παίρνω την προς απόδειξη!


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11540
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διαιρέτης αθροίσματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Οκτ 25, 2019 3:42 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Οκτ 25, 2019 11:01 am
Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός 1000(1000+1)(1000^2+1) διαιρεί το άθροισμα

1000^1+1000^2+1000^3+...+1000^{1000}
Ορέστη, Καλησπέρα.

Ωραιότατα.

Ας την δούμε και αλλιώς: Είναι x(x+1)(x^2+1)=x+x^2+x^3+x^4. Χωρίζουμε το δοθέν άθροισμα σε 25 τετράδες και από κάθε μία βγάζουμε κοινό παράγοντα:

\displaystyle{ (x+x^2+x^3+x^4) + x^4(x+x^2+x^3+x^4)+ x^8(x+x^2+x^3+x^4)+...+ x^{96}(x+x^2+x^3+x^4)}

Βλέπουμε τώρα ότι το x+x^2+x^3+x^4 είναι εκ νέου κοινός παράγοντας, από όπου το ζητούμενο (για x=1000).


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8262
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Διαιρέτης αθροίσματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Οκτ 25, 2019 5:00 pm

Οι n,n+1,n^2+1 είναι όλοι πρώτοι μεταξύ τους για n άρτιο. (Π.χ. επειδή n^2 + 1 - (n-1)(n+1) = 2, τότε ο μέγιστος κοινός διαιρέτηες των n+1,n^2+1 είναι ίσος με 1 ή 2. Για n άρτιο όμως δεν μπορεί να είναι ίσος με 2.)

Τώρα παρατηρούμε ότι

n + n^2 + \cdots + n^{1000} \equiv 0 \bmod n
n + n^2 + \cdots + n^{1000} \equiv -1 + 1 -1 + 1 +  \cdots -1 + 1 \equiv 0 \bmod (n+1)
και
n + n^2 + \cdots + n^{1000} \equiv (n -1 - n + 1) +  \cdots (n -1 - n + 1) \equiv 0 \bmod (n^2+1)

Άρα κάθε ένας εκ των n,n+1,n^2+1 και άρα και το γινόμενό τους διαιρούν τον n + n^2 + \cdots + n^{1000} για οποιοδήποτε άρτιο n.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες