Διάστημα μήκους 1

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Να βρεθούν όλες οι θετικές πραγματικές τιμές της παραμέτρου

ώστε οι κοινές λύσεις των

ανισώσεων $x^2-2x\leq a^2-1$ και $x^2-4x\leq -a-2$ να σχηματίζουν διάστημα μήκους

στην ευθεία των πραγματικών.

21-11

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 20, 2019 9:22 pm
Να βρεθούν όλες οι θετικές πραγματικές τιμές της παραμέτρου ώστε οι κοινές λύσεις των

ανισώσεων $x^2-2x\leq a^2-1$ και $x^2-4x\leq -a-2$ να σχηματίζουν διάστημα μήκους

στην ευθεία των πραγματικών.

21-11

$x^2-2x\leq a^2-1\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )^2\leq a^2\Leftrightarrow -a\leq x-1\leq a\Leftrightarrow -a+1\leq x\leq a+1$
$x^2-4x\leq -a-2\Leftrightarrow \left ( x-2 \right )^2\leq -a+2\Leftrightarrow -\sqrt{-a+2}\leq x-2\leq \sqrt{-a+2},0<a\leq 2\Leftrightarrow ...2-\sqrt{-a+2}\leq x\leq \sqrt{-a+2}+2$
Διακρίνουμε περιπτώσεις:

$a\in \left ( \dfrac{\sqrt{5}+1}{2},2 \right ]$
$2+\sqrt{-a+2}\leq a+1\Leftrightarrow -a+2\leq a^2-2a+1\Leftrightarrow a^2-a-1\geq 0\overset{a\geq 0}{\Leftrightarrow }a\geq \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ που ισχύει ,άρα και η αρχική.
$2-\sqrt{-a+2}\geq -a+1\Leftrightarrow -a+2\leq a^2+2a+1\Leftrightarrow a^2+3a-1\geq 0\overset{a> 0}{\Leftrightarrow }a\geq \dfrac{\sqrt{13}-3}{2} <\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ άρα και αυτή ισχύει .Οι κοινές λύσεις είναι $2-\sqrt{-a+2}\leq x \leq 2+\sqrt{-a+2}$
και πρέπει $\left ( 2+\sqrt{-a+2} \right )-\left ( 2-\sqrt{-a+2} \right )=1\Leftrightarrow \sqrt{-a+2}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a=\dfrac{7}{4}$

$a\in [\dfrac{\sqrt{13}-3}{2},\dfrac{\sqrt{5}+1}{2})$ .Όμοια οι κοινές λύσεις είναι οι $2-\sqrt{-a+2}\leq x\leq a+1$ και πρέπει $a+1-\left ( 2-\sqrt{-a+2} \right )=1 \Leftrightarrow \sqrt{-a+2}= -a+2 \overset{a\neq 2}{\Leftrightarrow} -a+2=1\Leftrightarrow a=1$

$a\in \left ( 0,\dfrac{\sqrt{13}-3}{2} \right )$ όμοια οι κοινές λύσεις είναι οι $-a+1\leq x\leq a+1$
και πρέπει $a+1-\left ( -a+1 \right )=1\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{2}>\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}$ άρα απορρίπτεται.

Συνολικά είναι $a=1,a=\dfrac{7}{4}$

Διάστημα μήκους 1

Διάστημα μήκους 1

Re: Διάστημα μήκους 1

Μέλη σε σύνδεση