Συνάρτηση από την σύνθεση με τον εαυτό της

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12426
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Συνάρτηση από την σύνθεση με τον εαυτό της

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 22, 2019 9:20 pm

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις \displaystyle{f: \{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7\}\rightarrow \{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7\}} με

\displaystyle{f(f(1))=4, \, f(f(2))=7, \, f(f(3))=6, \, f(f(4))=5, \, f(f(5))=1, \, f(f(6))=3, \,f(f(7))=2}.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας. Κατάλληλη για σχεδόν όλες τις τάξεις Γυμνασίου/Λυκείου αρκεί να ξέρεις τι είναι συνάρτηση.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12426
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνάρτηση από την σύνθεση με τον εαυτό της

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Νοέμ 26, 2019 9:11 pm

Ας την αφήσουμε άλλες 24 ώρες στους μαθητές μας, αλλά αυτή την φορά θα δώσω υπόδειξη.

Το f(1) είναι ένας από τους αριθμούς 1,2,3,4,5,6,7. Ας κάνουμε υπόθεση εργασίας ότι είναι f(1)=1. Τι συμπεράσματα βγάζουμε; Μας οδηγεί σε άτοπο ή όχι; Αν οδηγεί σε άτοπο, απορρίπτουμε την υπόθεσή μας και προχωράμε σε μια δεύτερη, και ούτω καθ' εξής.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12426
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συνάρτηση από την σύνθεση με τον εαυτό της

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 28, 2019 8:45 pm

Ανοικτή σε όλους.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7353
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Συνάρτηση από την σύνθεση με τον εαυτό της

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Νοέμ 28, 2019 10:11 pm

\left\{ \begin{gathered} 
  f(1) = 5 \hfill \\ 
  f(2) = 3 \hfill \\ 
  f(3) = 7 \hfill \\ 
  f(4) = 1 \hfill \\ 
  f(5) = 4 \hfill \\ 
  f(6) = 2 \hfill \\ 
  f(7) = 6 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.


Αν f(1) είναι 1,2,3,4 έχω αδιέξοδο αλλά έχω αποκλείσει ταυτόχρονα 4 τιμές που μπορεί να πάρει

Με f(1) = 5 δεν έχω αδιέξοδο

Τώρα πρέπει να βρω το f(2), με f(2) = 3 προχωρώ χωρίς πρόβλημα και βρίσκω τις άλλες τιμές .

Ίσως υπάρχει καλύτερη λύση .


Αν έχω λάθος συμπαθάτε με .


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3209
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συνάρτηση από την σύνθεση με τον εαυτό της

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Νοέμ 28, 2019 11:20 pm

Doloros έγραψε:
Πέμ Νοέμ 28, 2019 10:11 pm
\left\{ \begin{gathered} 
  f(1) = 5 \hfill \\ 
  f(2) = 3 \hfill \\ 
  f(3) = 7 \hfill \\ 
  f(4) = 1 \hfill \\ 
  f(5) = 4 \hfill \\ 
  f(6) = 2 \hfill \\ 
  f(7) = 6 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.


Αν f(1) είναι 1,2,3,4 έχω αδιέξοδο αλλά έχω αποκλείσει ταυτόχρονα 4 τιμές που μπορεί να πάρει

Με f(1) = 5 δεν έχω αδιέξοδο

Τώρα πρέπει να βρω το f(2), με f(2) = 3 προχωρώ χωρίς πρόβλημα και βρίσκω τις άλλες τιμές .

Ίσως υπάρχει καλύτερη λύση .


Αν έχω λάθος συμπαθάτε με .
Δεν κάνεις λάθος Νίκο.

Υπάρχει τουλάχιστον ακόμη μία
η
\left\{ \begin{gathered} 
  f(1) = 5 \hfill \\ 
  f(2) = 6 \hfill \\ 
  f(3) = 2 \hfill \\ 
  f(4) = 1 \hfill \\ 
  f(5) = 4 \hfill \\ 
  f(6) = 7\hfill \\ 
  f(7) = 3 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 710
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Συνάρτηση από την σύνθεση με τον εαυτό της

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Νοέμ 29, 2019 12:25 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Νοέμ 22, 2019 9:20 pm
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις \displaystyle{f: \{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7\}\rightarrow \{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7\}} με

\displaystyle{f(f(1))=4, \, f(f(2))=7, \, f(f(3))=6, \, f(f(4))=5, \, f(f(5))=1, \, f(f(6))=3, \,f(f(7))=2}.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας. Κατάλληλη για σχεδόν όλες τις τάξεις Γυμνασίου/Λυκείου αρκεί να ξέρεις τι είναι συνάρτηση.
Μια εκτός φακέλου.

Η fof είναι μετάθεση. Το ίδιο και η f. Γράφοντας την fof

σαν γινόμενο ξένων κύκλων (145)(27)(36) είναι εύκολο να δει κανείς ότι αυτή μπορεί να έχει προέλθει

από την (154)(2376) ή την (154)(2673) (οι κύκλοι με άρτιο το πλήθος στοιχεία συγχωνεύονται).


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3209
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συνάρτηση από την σύνθεση με τον εαυτό της

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 30, 2019 11:00 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Νοέμ 22, 2019 9:20 pm
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις \displaystyle{f: \{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7\}\rightarrow \{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7\}} με

\displaystyle{f(f(1))=4, \, f(f(2))=7, \, f(f(3))=6, \, f(f(4))=5, \, f(f(5))=1, \, f(f(6))=3, \,f(f(7))=2}.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας. Κατάλληλη για σχεδόν όλες τις τάξεις Γυμνασίου/Λυκείου αρκεί να ξέρεις τι είναι συνάρτηση.
Αν κρίνω από την λύση που θα παραθέσω νομίζω ότι το παρακάτω είναι άστοχο.
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Νοέμ 22, 2019 9:20 pm
Κατάλληλη για σχεδόν όλες τις τάξεις Γυμνασίου/Λυκείου αρκεί να ξέρεις τι είναι συνάρτηση.
Με f^{2},f^{3},.. συμβολίζω τις fof,fofof,... κλπ.

Η f είναι μια συνάρτηση από το \left \{ 1,2,3,4,5,6,7 \right \} στο \left \{ 1,2,3,4,5,6,7 \right \}

1)Αν μία από τις f^{2},f^{3},.. είναι 1-1 τότε και η f είναι.
Αρα η fείναι 1-1

2)Είναι f(x)\neq x,x\in \left \{ 1,2,3,4,5,6,7 \right \}

3)f(1),f(2),f(3)\in A=\left \{ 1,5,4 \right \}
Απόδειξη.
Εστω f(1)\notin A
Θα είναι f(1)\in \left \{ 2,6,3,7 \right \}
Εστω f(1)=2 θα είναι
f^{2}(1)=f(2),f^{3}(1)=7,f^{5}(1)=2
Δηλαδή f^{5}(1)=f(1)\Rightarrow f^{4}(1)=1
Αλλά f^{4}(1)=5 ΑΤΟΠΟ.
Με όμοιους συλλογισμούς καταλήγουμε σε ΑΤΟΠΟ και για τα άλλα.

4)Εχουμε από το προηγούμενο ότι
f(1)=4 or f(1)=5

Αν f(1)=4 τότε f^{2}(1)=f(4)\Rightarrow 4=f(4)
ΑΤΟΠΟ.

Αρα f(1)=5 οπότε f(5)=4,f(4)=1

5)Είναι f(2),f(6),f(3),f(7)\in \left \{ 2,3,6,7 \right \}
f(2)\neq 2
Αν f(2)=7 τότε f(7)=f^{2}(2)=7
ΑΤΟΠΟ
α)f(2)=3
τότε f(3)=f^{2}(2)=7
Ετσι f(6)\in \left \{ 2,6 \right \}
οπότε f(6)=2
είναι δε f(7)=f^{2}(3)=6
και την βρήκαμε.
β)f(2)=6
Δουλεύοντας όπως στο α) βρίσκουμε
f(2)=6,f(6)=7,f(7)=3,f(3)=2

Τελικά είναι δύο συναρτήσεις οι
f(5)=4,f(4)=1,f(2)=6,f(6)=7,f(7)=3,f(3)=2,f(1)=5
f(5)=4,f(4)=1,f(2)=3,f(6)=2,f(7)=6,f(3)=7,f(1)=5

Εχω και άλλη απόδειξη η οποία στην ουσία είναι να αποδείξουμε γνωστές ιδιότητες
των μεταθέσεων, και να βρούμε την συνάρτηση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης