Ύψος και εφαπτομένη (Γεωμετρία Β)

#1

: Ύψος και εφαπτομένη.png (10.9 KiB) Προβλήθηκε 859 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(\widehat A=90^\circ),$ η διχοτόμος

τέμνει το ύψος

στο

Αν

και $A\widehat BE=\theta,$ να υπολογίσετε το μήκος του ύψους

και την $\tan \theta.$

Ένα 48ωρο για μαθητές

Ορέστης Λιγνός · #2

george visvikis έγραψε: Τετ Ιαν 22, 2020 7:37 pm
Ύψος και εφαπτομένη.png
Στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(\widehat A=90^\circ),$ η διχοτόμος τέμνει το ύψος στο Αν

και $A\widehat BE=\theta,$ να υπολογίσετε το μήκος του ύψους και την $\tan \theta.$

Ένα 48ωρο για μαθητές

Να μην μείνει ...

Είναι, $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{c}{a} \Rightarrow \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{c}{c+a}$ (1).
Επίσης, είναι γνωστό από μετρικές σχέσεις ότι $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{c^2}{b^2}$ (2).

Από Θ. Μενελάου στο $\vartriangle BEC$ με διατέμνουσα την $\overline{DPA}$ , προκύπτει : $\dfrac{PB}{PE} \cdot \dfrac{DC}{DB} \cdot \dfrac{AE}{AC}=1$ , οπότε από τις σχέσεις (1) και (2), προκύπτει :

$\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{b^2}{c^2} \cdot \dfrac{c}{a+c}=1 \Rightarrow \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{b^2}{c^2} \cdot \dfrac{c}{\sqrt{b^2+c^2}+c} =1$ $\Rightarrow \dfrac{5k^2}{8}=\sqrt{k^2+1}+1$ , με k=b/c

.

Εύκολα από δω προκύπτει ότι k=12/5

. Οπότε, μπορούμε να θέσουμε AB=5x, AC=12x, BC=13x

, με

.

$\bullet$ Από Θ. Διχοτόμου προκύπτει AE=10x/3, EC=26x/3

, οπότε είναι $\tan \theta= AE/AB=(10x/3)/5x=2/3$ .

$\bullet$ Επίσης, από Π.Θ. στο $\vartriangle ABE$ , προκύπτει $(5x)^2+(10x/3)^2=169 \Rightarrow x=\dfrac{3\sqrt{13}}{5}$ .

Αφού όμως είναι $AB \cdot AC/2=(ABC)=BC \cdot AD/2 \Rightarrow 5x \cdot 12x=13x \cdot AD \Rightarrow AD=60x/13$ , θα προκύψει $AD=\dfrac{36\sqrt{13}}{13}$ .

#3

Ας είναι

το μέσο του

. Επειδή, η κάθε μια, παρά τη βάση

του $\vartriangle APE$ είναι το άθροισμα : $\widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\omega _{}}}$ , το τρίγωνο είναι ισοσκελές .

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ABE

με ύψος το

Θα είναι :

$A{M^2} = MB \cdot ME = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow \boxed{AM = 6}$ . Έτσι $AP = \sqrt {36 + 16} = 2\sqrt {13}$

Τώρα και λόγω των όμοιων ορθογωνίων τριγώνων : $MAP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DBP$ έχω ταυτόχρονα:

: Υψος κι εφαπτομένη.png (20.12 KiB) Προβλήθηκε 734 φορές

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{MP}}{{PD}} = \frac{{AP}}{{BP}} \hfill \\ \tan \theta = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{4}{{PD}} = \frac{{2\sqrt {13} }}{5} \hfill \\ \tan \theta = \frac{2}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} AD = AP + PD = \frac{{36\sqrt {13} }}{{13}} \hfill \\ \tan \theta = \frac{2}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Ύψος και εφαπτομένη (Γεωμετρία Β)

Ύψος και εφαπτομένη (Γεωμετρία Β)

Re: Ύψος και εφαπτομένη (Γεωμετρία Β)

Re: Ύψος και εφαπτομένη (Γεωμετρία Β)

Μέλη σε σύνδεση