Ύψος και εφαπτομένη (Γεωμετρία Β)

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9364
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ύψος και εφαπτομένη (Γεωμετρία Β)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιαν 22, 2020 7:37 pm

Ύψος και εφαπτομένη.png
Ύψος και εφαπτομένη.png (10.9 KiB) Προβλήθηκε 249 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC(\widehat A=90^\circ), η διχοτόμος BE τέμνει το ύψος AD στο P. Αν

BP=5, PE=8 και A\widehat BE=\theta, να υπολογίσετε το μήκος του ύψους AD και την \tan \theta.


Ένα 48ωρο για μαθητές



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1617
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ύψος και εφαπτομένη (Γεωμετρία Β)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Ιαν 25, 2020 3:11 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Ιαν 22, 2020 7:37 pm
Ύψος και εφαπτομένη.png
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC(\widehat A=90^\circ), η διχοτόμος BE τέμνει το ύψος AD στο P. Αν

BP=5, PE=8 και A\widehat BE=\theta, να υπολογίσετε το μήκος του ύψους AD και την \tan \theta.


Ένα 48ωρο για μαθητές
Να μην μείνει ...

Είναι, \dfrac{AE}{EC}=\dfrac{c}{a} \Rightarrow \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{c}{c+a} (1).
Επίσης, είναι γνωστό από μετρικές σχέσεις ότι \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{c^2}{b^2} (2).

Από Θ. Μενελάου στο \vartriangle BEC με διατέμνουσα την \overline{DPA}, προκύπτει : \dfrac{PB}{PE} \cdot \dfrac{DC}{DB} \cdot \dfrac{AE}{AC}=1, οπότε από τις σχέσεις (1) και (2), προκύπτει :

\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{b^2}{c^2} \cdot \dfrac{c}{a+c}=1 \Rightarrow \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{b^2}{c^2} \cdot \dfrac{c}{\sqrt{b^2+c^2}+c} =1\Rightarrow \dfrac{5k^2}{8}=\sqrt{k^2+1}+1, με k=b/c.

Εύκολα από δω προκύπτει ότι k=12/5. Οπότε, μπορούμε να θέσουμε AB=5x, AC=12x, BC=13x, με x>0.

\bullet Από Θ. Διχοτόμου προκύπτει AE=10x/3, EC=26x/3, οπότε είναι \tan \theta= AE/AB=(10x/3)/5x=2/3.

\bullet Επίσης, από Π.Θ. στο \vartriangle ABE, προκύπτει (5x)^2+(10x/3)^2=169 \Rightarrow x=\dfrac{3\sqrt{13}}{5}.

Αφού όμως είναι AB \cdot AC/2=(ABC)=BC \cdot AD/2 \Rightarrow 5x \cdot 12x=13x \cdot AD \Rightarrow AD=60x/13, θα προκύψει AD=\dfrac{36\sqrt{13}}{13}.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7207
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ύψος και εφαπτομένη (Γεωμετρία Β)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιαν 25, 2020 7:13 pm

Ας είναι M το μέσο του PE. Επειδή, η κάθε μια, παρά τη βάση PE του \vartriangle APE είναι το άθροισμα : \widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\omega _{}}} , το τρίγωνο είναι ισοσκελές .

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ABE με ύψος το AM Θα είναι :

A{M^2} = MB \cdot ME = 4 \cdot 9 = 36 \Rightarrow \boxed{AM = 6}. Έτσι AP = \sqrt {36 + 16}  = 2\sqrt {13}

Τώρα και λόγω των όμοιων ορθογωνίων τριγώνων : MAP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DBP έχω ταυτόχρονα:
Υψος κι εφαπτομένη.png
Υψος κι εφαπτομένη.png (20.12 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{MP}}{{PD}} = \frac{{AP}}{{BP}} \hfill \\ 
  \tan \theta  = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{4}{{PD}} = \frac{{2\sqrt {13} }}{5} \hfill \\ 
  \tan \theta  = \frac{2}{3} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  AD = AP + PD = \frac{{36\sqrt {13} }}{{13}} \hfill \\ 
  \tan \theta  = \frac{2}{3} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 2 επισκέπτες