Θέμα Εξετάσεων

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9183
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Θέμα Εξετάσεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Φεβ 03, 2020 5:59 pm

Θέμα Εξετάσεων 3.png
Θέμα Εξετάσεων 3.png (12.56 KiB) Προβλήθηκε 543 φορές
Έστω O το κέντρο ορθογωνίου ABCD με AB=a, BC=b. Επί της πλευράς AB θεωρώ

σημείο P ώστε AP=2PB. Αν PO\bot AC, Α) να βρείτε το λόγο \dfrac{a}{b}.

Β) Αν το εμβαδόν του OAP ισούται αριθμητικά με b, i) να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου και

ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν (S) του μεικτόγραμμου χωρίου που σχηματίζεται από τα τμήματα PO,

PB και το τόξο \overset\frown{OB} του κύκλου (C, b).



Ένα 48ωρο για μαθητές ................. Ευκλείδεια Γεωμετρία Β



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9183
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Θέμα Εξετάσεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 08, 2020 4:43 pm

Επαναφορά για όλους.


papamixalis
Δημοσιεύσεις: 197
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 13, 2015 3:38 pm

Re: Θέμα Εξετάσεων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papamixalis » Σάβ Φεβ 08, 2020 6:10 pm

Καλησπέρα :logo:

Παρατηρούμε ότι το τρίγωνο APC είναι ισοσκελές, επομένως PC=AP=\dfrac{a}{3}.
Στο τρίγωνο PBC εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο και έχουμε \dfrac{4a^2}{9}=\dfrac{a^2}{9} + b^2 \rightarrow \dfrac{a^2}{3}=b^2 \rightarrow \dfrac{a}{b}=\sqrt{3}

Η πλευρά OA ισούται με b αφού OA=\dfrac{AC}{2} =\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}=\dfrac{\sqrt{4b^2}}{2}=b
Βρίσκουμε ότι OP=\dfrac{b}{\sqrt{3}} με πυθαγόρειο στο τρίγωνο OAP. Επομένως \dfrac{b}{\sqrt{3}}*b*\dfrac{1}{2}=b \rightarrow b=2\sqrt{3}
Επομένως a=6

Το εμβαδόν του πράσινου χωρίου είναι το (ABC) - (AOP) - (OCB)
(ABC)=6\sqrt{3}
(AOP)=2\sqrt{3}
(OCB)=\dfrac{1}{2}*a*R^2
όπου a είναι τα rad της γωνίας OCB. Βλέπουμε ότι cosa=\dfrac{b}{2b}=\dfrac{1}{2} Άρα a=\dfrac{\pi}{3}
Επομένως (OCB)=2\pi
Άρα το ζητούμενο εμβαδόν ισούται με 4\sqrt{3}-2\pi

Μιχάλης


Άβαταρ μέλους
angvl
Δημοσιεύσεις: 146
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 3:10 pm

Re: Θέμα Εξετάσεων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από angvl » Κυρ Φεβ 09, 2020 12:21 pm

Θέμα Εξετάσεων1copy.png
Θέμα Εξετάσεων1copy.png (36.13 KiB) Προβλήθηκε 196 φορές
Καλημέρα.

'Εστω \displaystyle T το συμμετρικό του C ως προς το σημείο B.Τότε το σημείο P είναι βαρύκεντρο και ορθόκεντρο στο τρίγωνο

\displaystyle \triangle TAC άρα θα είναι ισόπλευρο, οπότε \angle \theta = 30^0. Συνεπώς :

a)
\displaystyle \cot \theta = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{a}{b} = \sqrt{3}
b)
i) \displaystyle OP = PB = \frac{a}{3} (εφαπτόμενα τμήματα)

\displaystyle (OAP) = b \Rightarrow \frac{1}{2} b\frac{a}{3} = b \Rightarrow a = 6 \Rightarrow b = 2\sqrt{3}.

ii) 'Εστω X το εμβαδόν του ζητούμενου χωρίου. Τότε

\displaystyle X = 2(PCB) - \widehat{BOC}  = 2(OAP) - \frac{1}{2} \alpha R^2 = 2b - \frac{\pi b^2}{6} = 4\sqrt{3} - 2\pi


Καλό Καλοκαίρι!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης