Έγκεντρο και βαρύκεντρο

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1257
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Έγκεντρο και βαρύκεντρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Μαρ 27, 2020 9:38 am

Καλημέρα.
Έγκεντρο και βαρύκεντρο.PNG
Έγκεντρο και βαρύκεντρο.PNG (13.19 KiB) Προβλήθηκε 321 φορές
Το I είναι το έγκεντρο και το G το βαρύκεντρο του τριγώνου ABC , η AD διχοτόμος του ενώ τα M,N είναι τα μέσα των AB και AC.

Οι DM,DN τέμνουν τις IB,IC στα E,P αντιστοίχως.Αν IG \parallel BC τότε:

Ι) Να εξεταστεί αν το PIED είναι εγγράψιμο.

ΙΙ) Υπολογίστε τον λόγο \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( EPI \right )} και

ΙΙΙ) Αν επιπλέον δοθεί IG=1 και AB>AC=9 να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου ABC.

24 ώρες για τους μαθητές. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 124
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Έγκεντρο και βαρύκεντρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Παρ Μαρ 27, 2020 3:02 pm

Γεια σας κ.Γιώργο :)
i) Είναι, GI\parallel BC\Leftrightarrow \dfrac{IA}{ID}=2\Leftrightarrow  \dfrac{CA}{CD}=2\Leftrightarrow \dfrac{2\cdot CN}{CD}=2\Leftrightarrow CN=CD. Με τον ίδιο τρόπο βρίσκω BD=BM. Στα ισοσκελή τρίγωνα CDN και BMD, οι CP και BE είναι διχοτόμοι, άρα και ύψη, δηλαδή \widehat{IED}=\widehat{IPD}=90^{\circ} και το ζητούμενο έπεται.


ii) Είναι EP\parallel= \dfrac{MN}{2}\parallel =\dfrac{BC}{2}\Rightarrow EP\parallel = \dfrac{BC}{4} άρα τα τρίγωνα IEP και IBC είναι όμοια με λόγο ομοιότητας \lambda =\dfrac{EP}{BC}=\dfrac{1}{4}. Φέρω, IH\perp EP, K\equiv IH\cap BC. Είναι IH=\dfrac{1}{4}\cdot IK=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot u_{a}=\dfrac{1}{12}u_{a}. Τώρα είναι\left ( BAC \right )=\dfrac{BC\cdot u_{a}}{2}=\dfrac{4\cdot EP\cdot 12\cdot IH}{2}=48\cdot \left ( EIP \right ) \Leftrightarrow  \dfrac{( BAC) }{(EIP)}=48

iii) Έστω L\equiv AG\cap BC. Είναι IL=1,5, οπότε a=2(1,5+4,50)=12. Είναι ακόμη c=2(6+1,5)=15, άρα a+b+c=12+15+9=36
Έγκεντρο και βαρύκεντρο.PNG
Έγκεντρο και βαρύκεντρο.PNG (49.76 KiB) Προβλήθηκε 280 φορές
τελευταία επεξεργασία από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ σε Σάβ Μαρ 28, 2020 10:21 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1257
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Έγκεντρο και βαρύκεντρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Μαρ 28, 2020 9:16 am

Καλημέρα σε όλους. Μπράβο Θεοδόση, ωραία αντιμετώπιση!

Μόνο στο τέλος είναι c=2(6+1,5)=15 οπότε η περίμετρος του τριγώνου είναι 36.

Μπορούμε, πριν θέσουμε τιμές, να βρούμε ότι 2a=b+c και κατά συνέπεια η περίμετρος είναι 3a.. Φιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 124
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Έγκεντρο και βαρύκεντρο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Σάβ Μαρ 28, 2020 11:30 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Σάβ Μαρ 28, 2020 9:16 am
Καλημέρα σε όλους. Μπράβο Θεοδόση, ωραία αντιμετώπιση!

Μόνο στο τέλος είναι c=2(6+1,5)=15 οπότε η περίμετρος του τριγώνου είναι 36.

Μπορούμε, πριν θέσουμε τιμές, να βρούμε ότι 2a=b+c και κατά συνέπεια η περίμετρος είναι 3a.. Φιλικά, Γιώργος.

Ευχαριστώ κύριε Γιώργο, το διόρθωσα. Ισχύει και το αντίστροφο στην παραπάνω σχέση, δηλαδή 2a=b+c\Rightarrow IG\parallel BC.
Βάζω μια απόδειξη: Με θ.διχοτόμου στο τρίγωνο ADC έχω \dfrac{IA}{ID}=\dfrac{b}{CD}\,\,\,(1). Είναι όμως DC=\dfrac{a\cdot b}{b+c}. Αντικαθιστώντας τώρα στην (1) παίρνουμε:

\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{a}{\dfrac{ab}{b+c}}=\dfrac{b+c}{a}\overset{b+c=2a}{=}\dfrac{2a}{a}=2, δηλαδή IG\parallel BC
Έγκεντρο και βαρύκεντρο..PNG
Έγκεντρο και βαρύκεντρο..PNG (22.94 KiB) Προβλήθηκε 191 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9214
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Έγκεντρο και βαρύκεντρο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μαρ 28, 2020 1:47 pm

Καλό μεσημέρι σε όλους!

Να παρατηρήσω απλώς, ότι στο τελευταίο ερώτημα, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με κορυφή C.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης