Έγκεντρο και βαρύκεντρο

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα.

: Έγκεντρο και βαρύκεντρο.PNG (13.19 KiB) Προβλήθηκε 1066 φορές

Το

είναι το έγκεντρο και το

το βαρύκεντρο του τριγώνου ABC

, η

διχοτόμος του ενώ τα M,N

είναι τα μέσα των

και

.

Οι

τέμνουν τις IB,IC

στα

αντιστοίχως.Αν $IG \parallel BC$ τότε:

Ι) Να εξεταστεί αν το PIED

είναι εγγράψιμο.

ΙΙ) Υπολογίστε τον λόγο $\dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( EPI \right )}$ και

ΙΙΙ) Αν επιπλέον δοθεί IG=1

και

να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου ABC

.

ώρες για τους μαθητές. Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #2

Γεια σας κ.Γιώργο

i) Είναι, $GI\parallel BC\Leftrightarrow \dfrac{IA}{ID}=2\Leftrightarrow \dfrac{CA}{CD}=2\Leftrightarrow \dfrac{2\cdot CN}{CD}=2\Leftrightarrow CN=CD$ . Με τον ίδιο τρόπο βρίσκω BD=BM

. Στα ισοσκελή τρίγωνα CDN

και

, οι

και

είναι διχοτόμοι, άρα και ύψη, δηλαδή $\widehat{IED}=\widehat{IPD}=90^{\circ}$ και το ζητούμενο έπεται.

ii) Είναι $EP\parallel= \dfrac{MN}{2}\parallel =\dfrac{BC}{2}\Rightarrow EP\parallel = \dfrac{BC}{4}$ άρα τα τρίγωνα IEP

και

είναι όμοια με λόγο ομοιότητας $\lambda =\dfrac{EP}{BC}=\dfrac{1}{4}$ . Φέρω, $IH\perp EP, K\equiv IH\cap BC$ . Είναι $IH=\dfrac{1}{4}\cdot IK=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot u_{a}=\dfrac{1}{12}u_{a}$ . Τώρα είναι $\left ( BAC \right )=\dfrac{BC\cdot u_{a}}{2}=\dfrac{4\cdot EP\cdot 12\cdot IH}{2}=48\cdot \left ( EIP \right ) \Leftrightarrow \dfrac{( BAC) }{(EIP)}=48$

iii) Έστω $L\equiv AG\cap BC$ . Είναι IL=1,5

, οπότε

. Είναι ακόμη c=2(6+1,5)=15

, άρα

: Έγκεντρο και βαρύκεντρο.PNG (49.76 KiB) Προβλήθηκε 1025 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #3

Καλημέρα σε όλους. Μπράβο Θεοδόση, ωραία αντιμετώπιση!

Μόνο στο τέλος είναι c=2(6+1,5)=15

οπότε η περίμετρος του τριγώνου είναι

.

Μπορούμε, πριν θέσουμε τιμές, να βρούμε ότι 2a=b+c

και κατά συνέπεια η περίμετρος είναι

.. Φιλικά, Γιώργος.

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 28, 2020 9:16 am
Καλημέρα σε όλους. Μπράβο Θεοδόση, ωραία αντιμετώπιση!

Μόνο στο τέλος είναι οπότε η περίμετρος του τριγώνου είναι .

Μπορούμε, πριν θέσουμε τιμές, να βρούμε ότι και κατά συνέπεια η περίμετρος είναι .. Φιλικά, Γιώργος.

Ευχαριστώ κύριε Γιώργο, το διόρθωσα. Ισχύει και το αντίστροφο στην παραπάνω σχέση, δηλαδή $2a=b+c\Rightarrow IG\parallel BC$ .
Βάζω μια απόδειξη: Με θ.διχοτόμου στο τρίγωνο ADC

έχω $\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{b}{CD}\,\,\,(1)$ . Είναι όμως $DC=\dfrac{a\cdot b}{b+c}$ . Αντικαθιστώντας τώρα στην (1)

παίρνουμε:

$\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{a}{\dfrac{ab}{b+c}}=\dfrac{b+c}{a}\overset{b+c=2a}{=}\dfrac{2a}{a}=2$ , δηλαδή $IG\parallel BC$

: Έγκεντρο και βαρύκεντρο..PNG (22.94 KiB) Προβλήθηκε 936 φορές

#5

Καλό μεσημέρι σε όλους!

Να παρατηρήσω απλώς, ότι στο τελευταίο ερώτημα, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με κορυφή

Έγκεντρο και βαρύκεντρο

Έγκεντρο και βαρύκεντρο

Re: Έγκεντρο και βαρύκεντρο

Re: Έγκεντρο και βαρύκεντρο

Re: Έγκεντρο και βαρύκεντρο

Re: Έγκεντρο και βαρύκεντρο

Μέλη σε σύνδεση