Εν αρχή ην ο Λόγος

#1

: Εν αρχή.png (13.28 KiB) Προβλήθηκε 870 φορές

Δίνεται κανονικό πεντάγωνο ABCDE.

Η παράλληλη από το

στην

τέμνει την

στο

και οι

τέμνονται στο

Να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{{(ABCK)}}{{(AEK)}} = \sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + ...} } } }$

Ένα 24ωρο αποκλειστικά για μαθητές.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 25, 2020 8:02 pm
Εν αρχή.png
Δίνεται κανονικό πεντάγωνο Η παράλληλη από το στην τέμνει την στο και οι

τέμνονται στο Να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{{(ABCK)}}{{(AEK)}} = \sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + ...} } } }$

Ένα 24ωρο αποκλειστικά για μαθητές.

Αρχικά αν θέσω $\rm p=\sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + \sqrt {1 + ...} } } }$ τότε $\rm p^2=p+1$ οπότε επειδή $\rm p>0$ θα είναι $\rm p=\Phi$ .
Έστω ότι η παράλληλη από το $\rm K$ στην $\rm BC$ την τέμνει στο σημείο $\rm Q$ .
Τότε $\rm (ABCK)=(ABC)+(KCA)=(ABC)+(QAC)=(AQB)$ .Είναι απλό πως $\rm AD \parallel BC$ οπότε $\rm DF=AB=a$
Έτσι $\rm ED=DF$ οπότε αφού $\rm \angle EDF=108^{\circ}+36^{\circ}=144^{\circ}$ θα είναι $\rm \angle FED=\angle EFD=18^{\circ}$ και αφού $\rm KQ\parallel ED$ είναι $\rm \angle FKQ=18^{\circ}$ .
Είναι απλό πως $\rm \angle KFC=54^{\circ}$ οπότε $\rm \angle CKF=180^{\circ}-72^{\circ}-54^{\circ}=54^{\circ}\Rightarrow CK=CF$ και $\rm \angle CKQ=54^{\circ}+18^{\circ}=\angle QCK\Rightarrow QK=QC$ άρα τα $\rm DCF,QKC$ είναι ίσα και έτσι $\rm QC=DC=a$ .
Έτσι $\rm (ABQ)=\dfrac{1}{2}a\cdot 2a\sin108^{\circ}=a^2\sin 72^{\circ}$ .
Επίσης από τον νόμο ημιτόνων στο $\rm EDK$ είναι $\rm \dfrac{EK}{\sin 108^{\circ}}=\dfrac{ED}{\sin 54^{\circ}}\Leftrightarrow EK=2\cos 54^{\circ}a$
Επειδή $\rm \angle AEK=108^{\circ}-18^{\circ}=90^{\circ}$ θα είναι $\rm (AEK)=\dfrac{1}{2}a\cdot 2\cos54^{\circ}a=a^2\cos 54^{\circ}$
Είναι λοιπόν $\rm \dfrac{(ADCB)}{(AEK)}=\dfrac{a^2\sin72^{\circ}}{a^2cos54^{\circ}}=\dfrac{\sin 72^{\circ}}{\sin 36^{\circ}}=2\cos 36^{\circ}=\Phi$ και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

: 315.PNG (34.53 KiB) Προβλήθηκε 845 φορές

Εν αρχή ην ο Λόγος

Εν αρχή ην ο Λόγος

Re: Εν αρχή ην ο Λόγος

Μέλη σε σύνδεση