Ευρεση τύπου ρίζας

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Θεωρούμε την εξίσωση
x^3+ax^2+bx+c=0

όπου

πραγματικοί

Αν ο πραγματικός

είναι τέτοιος ώστε
το (x-r)^2

διαιρεί το πολυώνυμο x^3+ax^2+bx+c

τότε

1)Να δειχθεί ότι ο

είναι ριζα της 3x^2+2ax+b=0

2)Να βρείτε τον

σαν παράσταση των a,b,c

Σχολική ύλη Β Λυκείου.

Μέχρι 18-5-2020 14.00

Christos.N · #2

Από την ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων προκύπτει

$x^3+ax^2+bx+c=(x-r)^2\left(x+(a+2r)\right)+\upsilon(x),~~\upsilon(x)=(3r^2+2ar+b)x+c-r^2(a^2+2r)$

Το υπόλοιπο όμως πρέπει να είναι το μηδενικό πολυώνυμο άρα:

$\begin{cases} 3r^2+2ar+b&=0 \\ 2r^3+ar^2-c&=0\end{cases}$

Απο την πρώτη συνάγεται το συμπέρασμα ότι

είναι ρίζα της εξίσωσης 3x^2+2ax+b=0

.

Βάζοντας στο κάδρο των εξισώσεων και το ότι

είναι ρίζα του αρχικού πολυωνύμου τότε

$\begin{cases} 3r^2+2ar+b&=0 \\ 2r^3+ar^2-c&=0 \\ r^3+ar^2+br+c&=0 \end{cases}$ , κάνοντας απαλοιφή του όρου r^3

από την δεύτερη και τρίτη εξίσωση έχουμε

$\begin{cases} 3r^2+2ar+b&=0 \\ ar^2+2br+3c&=0 \end{cases}$ , συνδυάζοντας τες -προσπαθώντας να κάνουμε απαλοιφή του όρου r^2

-προκύπτει η εξίσωση

(6b-2a^2)r=ab-9c

, διακρίνουμε στην συνέχεια δύο περιπτώσεις

Αν $6b-2a^2\neq 0$ τότε $r=\dfrac{ab-9c}{6b-2a^2}$

Αν $6b-2a^2=0\Leftrightarrow a^2=3b$ τότε η εξίσωση 3x^2+2ax+b=0

έχει διακρίνουσα $\Delta=4a^2-12b=0$ δηλαδή μοναδική ρίζα την $r=-\dfrac{a}{3}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Christos.N έγραψε: Δευ Μάιος 18, 2020 2:07 pm Από την ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων προκύπτει

$x^3+ax^2+bx+c=(x-r)^2\left(x+(a+2r)\right)+\upsilon(x),~~\upsilon(x)=(3r^2+2ar+b)x+c-r^2(a^2+2r)$

Το υπόλοιπο όμως πρέπει να είναι το μηδενικό πολυώνυμο άρα:

$\begin{cases} 3r^2+2ar+b&=0 \\ 2r^3+ar^2-c&=0\end{cases}$

Απο την πρώτη συνάγεται το συμπέρασμα ότι είναι ρίζα της εξίσωσης .

Βάζοντας στο κάδρο των εξισώσεων και το ότι είναι ρίζα του αρχικού πολυωνύμου τότε

$\begin{cases} 3r^2+2ar+b&=0 \\ 2r^3+ar^2-c&=0 \\ r^3+ar^2+br+c&=0 \end{cases}$ , κάνοντας απαλοιφή του όρου από την δεύτερη και τρίτη εξίσωση έχουμε

$\begin{cases} 3r^2+2ar+b&=0 \\ ar^2+2br+3c&=0 \end{cases}$ , συνδυάζοντας τες -προσπαθώντας να κάνουμε απαλοιφή του όρου -προκύπτει η εξίσωση

, διακρίνουμε στην συνέχεια δύο περιπτώσεις

Αν $6b-2a^2\neq 0$ τότε $r=\dfrac{ab-9c}{6b-2a^2}$

Αν $6b-2a^2=0\Leftrightarrow a^2=3b$ τότε η εξίσωση έχει διακρίνουσα $\Delta=4a^2-12b=0$ δηλαδή μοναδική ρίζα την $r=-\dfrac{a}{3}$

Σωστά.

Τον τύπο για την ρίζα μπορούμε να τον βρούμε ως εξής.
Κάνοντας την διαίρεση του x^3+ax^2+bx+c

με το

προκύπτει υπόλοιπο
το πολύ πρώτου βαθμού .
Αυτό είναι το
$\frac{2}{9}(3b-a^2)x+c-\frac{ba}{9}$
Αν $3b\neq a^2$
βρίσκουμε το

αφού είναι ρίζα του.
Διαφορετικά αντικαθιστούμε και παίρνουμε ότι και ο Χρήστος.

Επίσης αν a^2=3b

προκύπτει ότι $x^3+ax^2+bx+c=(x+\dfrac{a}{3})^3$

#4

Αλλιώς το 1ο ερώτημα:

$\displaystyle {x^3} + a{x^2} + bx + c = {(x - r)^2}(x + k) = {x^3} + (k - 2r){x^2} + ({r^2} - 2rk)x + {r^2}k$

Άρα, $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a = k - 2r\\ b = {r^2} - 2rk \end{array} \right. \Rightarrow 3{r^2} + 2ar + b = 3{r^2} + (2kr - 4{r^2}) + ({r^2} - 2rk) = 0$

miltosk · #5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Μάιος 16, 2020 7:12 pm Θεωρούμε την εξίσωση

όπου πραγματικοί

Αν ο πραγματικός είναι τέτοιος ώστε
το διαιρεί το πολυώνυμο
τότε

1)Να δειχθεί ότι ο είναι ριζα της

Μέχρι 18-5-2020 14.00

Μια με ύλη Γ Λυκείου για το πρώτο ερώτημα.Αφού το (x-r)^2

διαιρεί το x^3+ax^2+bx+c

, το

είναι διπλή του ρίζα. Άρα είναι και ρίζα της παραγώγου 3x^2+2ax+b

.

Ευρεση τύπου ρίζας

Ευρεση τύπου ρίζας

Re: Ευρεση τύπου ρίζας

Re: Ευρεση τύπου ρίζας

Re: Ευρεση τύπου ρίζας

Re: Ευρεση τύπου ρίζας

Μέλη σε σύνδεση