Μεσοκάθετος και διχοτόμος

#1

Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC\left( {A = 90^\circ } \right)$ είναι AC > AB = 72

Για σημείο

εσωτερικό του

, είναι

. Η κάθετη στο μέσο

της υποτείνουσας

τέμνει την

στο

.

Αν η

είναι διχοτόμος της $\widehat {CDA}$ να υπολογιστούν τα τμήματα :

DC,AC,BC,EA,EC,EM,ED

Επειδή έχουμε νέους και δυνατούς μαθητές στο

, για

ώρες το θέμα έχει φραγή για μη μαθητές (ανεξαρτήτως του πλήθους των μαθητών που θα έχουν απαντήσει)

Filippos Athos · #2

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 31, 2020 9:25 am
Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC\left( {A = 90^\circ } \right)$ είναι

Για σημείο εσωτερικό του , είναι . Η κάθετη στο μέσο της υποτείνουσας τέμνει την στο .

Αν η είναι διχοτόμος της $\widehat {CDA}$ να υπολογιστούν τα τμήματα :

Επειδή έχουμε νέους και δυνατούς μαθητές στο , για ώρες το θέμα έχει φραγή για μη μαθητές (ανεξαρτήτως του πλήθους των μαθητών που θα έχουν απαντήσει)

Προεκτείνουμε την

και ονομάζουμε το σημείο τομής της με την AB,F

: geogebra-export mes kai dix.png (242.46 KiB) Προβλήθηκε 583 φορές

Αφού $M\widehat{F}C=M\widehat{F}B$ (

μεσοκάθετος)
και $E\widehat{D}A=E\widehat{D}C$

το σημείο

είναι το εγκεντρο του FDC

.Επειδή

είναι και κάθετος και διχοτόμος, το τρίγωνο CDF

είναι ισοσκελές( CF=CD

) και

αρα (αφού

ισοσκελές) έχουμε ότι 100=BF=CF=CD

.

Από την Πυθαγόρεια τριάδα 25,24,7

προκύπτει η τριάδα 100,96,28

απο όπου παρατηρούμε έυκολα στο ADC

τρίγωνο ότι AC=96

.

Από την Πυθαγόρεια τριάδα 5,4,3

προκύπτει η τριάδα 120,96,72

απο όπου παρατηρούμε έυκολα στο ABC

τρίγωνο ότι BC=120

.

Με Θ.Μ. στο ABC

με διατέμνουσα

προκύπτει ότι $\frac{100}{28}\cdot \frac{EA}{EC}\cdot \frac{1}{1}=1\Rightarrow \frac{EA}{EC}=\frac{7}{25},EA+EC=96\Rightarrow EA=21,EC=75$

Από την Πυθαγόρεια τριάδα 5,4,3

προκύπτει η τριάδα 75,60,45

απο όπου παρατηρούμε έυκολα στο CEM

τρίγωνο ότι EM=45

.

Από την Πυθαγόρεια τριάδα 5,4,3

προκύπτει η τριάδα 35,28,21

απο όπου παρατηρούμε έυκολα στο AED

τρίγωνο ότι ED=35

.

#3

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 31, 2020 9:25 am
Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC\left( {A = 90^\circ } \right)$ είναι

Για σημείο εσωτερικό του , είναι . Η κάθετη στο μέσο της υποτείνουσας τέμνει την στο .

Αν η είναι διχοτόμος της $\widehat {CDA}$ να υπολογιστούν τα τμήματα :

Επειδή έχουμε νέους και δυνατούς μαθητές στο , για ώρες το θέμα έχει φραγή για μη μαθητές (ανεξαρτήτως του πλήθους των μαθητών που θα έχουν απαντήσει)

Αρκεί να υπολογιστεί το DC.

Όλα τα άλλα είναι απλά.

: Μεσοκάθετος και διχοτόμος.png (15.47 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές

$\displaystyle EB = EC \Leftrightarrow \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{{AE}}{{EB}} \Leftrightarrow \frac{{28}}{{DC}} = \sin \theta \Leftrightarrow A\widehat CD = \theta,$ άρα το DECB

είναι εγγράψιμο.

$\displaystyle AE \cdot b = AD \cdot c \Leftrightarrow AE = \frac{{28 \cdot 72}}{b}.$ Αλλά, $\displaystyle AE = \frac{{28b}}{{28 + DC}},$ οπότε:

$\displaystyle \frac{b}{{28 + DC}} = \frac{{72}}{b} \Leftrightarrow {b^2} = 72(28 + dC) \Leftrightarrow D{C^2} - {28^2} = 72(28 + DC) \Leftrightarrow$ $\boxed{DC=100}$

Άμεσα τώρα, $\boxed{b=96}$ και $\displaystyle AE = \frac{{28 \cdot 72}}{{96}} \Leftrightarrow$ $\boxed{AE=21}$ και $\boxed{EC=75}$ Τέλος με Πυθαγόρειο

διαδοχικά στα τρίγωνα ABC, EMC, ADE,

παίρνουμε: $\boxed{BC=120}$ , $\boxed{EM=45}$ , $\boxed{DE=35}$

nickchalkida · #4

Μία ακόμα οπτική.
Έστω $F=AB\cap ME$ και ας επιζευχθούν τα

,

. Όπως όμορφα βρήκε ο Φίλιππος FA=AD=28

.
Το σημείο

είναι σημείο της μεσοκαθέτου της

, άρα και σημείο του ημικυκλίου με διάμετρο

.
Γράφω το ημικύκλιο

και έστω $H = d \cap AF$ . Παρατηρώ ότι

είναι έγκεντρο του FCD

και ορθόκεντρο του ABC

.
Υπολογίζω διαδοχικά τα παρακάτω:

$\displaystyle{ \begin{aligned} & \triangle FHE = \triangle FAE \rightarrow FH = FA = 28 \cr & FC = FB \rightarrow FC-FH = FB-FA \rightarrow HC = AB = 72 \ \ \ , \ \ \ FC = DC = FB =100 \cr & AC^2 = 100^2 - 28^2 \rightarrow AC = 96 = BH \cr & CB^2 = 96^2 + 72^2 \rightarrow CB = 120 \cr & MF^2 = 100^2 - 60^2 \rightarrow MF = 80 \cr & {EA \over EC} = {FA \over FC} \rightarrow {EA \over EC+EA} = {FA \over FC+FA} \rightarrow {EA \over 96} = {28 \over 128} \rightarrow EA=21=HE\cr \end{aligned} }$

Μεσοκάθετος και διχοτόμος

Μεσοκάθετος και διχοτόμος

Re: Μεσοκάθετος και διχοτόμος

Re: Μεσοκάθετος και διχοτόμος

Re: Μεσοκάθετος και διχοτόμος

Μέλη σε σύνδεση