Με κανόνα και διαβήτη

[Doloros]

Δίδεται ένα ευθύγραμμο τμήμα . Να κατασκευάσετε Γεωμετρικά

( μόνο κανόνας και διαβήτης ) το ευθύγραμμο τμήμα :


24 Ώρες για μαθητές

[george visvikis]

Δίδεται ένα ευθύγραμμο τμήμα . Να κατασκευάσετε Γεωμετρικά

( μόνο κανόνας και διαβήτης ) το ευθύγραμμο τμήμα :


24 Ώρες για μαθητές

Καν,Διαβ.png (5.57 KiB) Προβλήθηκε 1396 φορές

Στο εσωτερικό ευθυγράμμου τμήματος θεωρώ σημείο ώστε Κατασκευάζω

ορθογώνιο τρίγωνο με Το τμήμα είναι το ζητούμενο.

[KDORTSI]

Δίδεται ένα ευθύγραμμο τμήμα . Να κατασκευάσετε Γεωμετρικά

( μόνο κανόνας και διαβήτης ) το ευθύγραμμο τμήμα :


24 Ώρες για μαθητές

Νίκο και Γιώργο καλησπέρα...

Ίσως με την κατασκευή αυτή είναι καλό να θυμηθούμε την λεγόμενη Σπείρα του Θεαίτητου.

Σπείρα του Θεαίτητου 1.png (24.02 KiB) Προβλήθηκε 1363 φορές

Η σπείρα του Θεαίτητου αναφέρεται στο αξιόλογο βιβλίο του Πλάτωνα με τίτλο "Θεαίτητος" το οποίο θεωρείται
σήμερα ως το πρώτο βιβλίο Γνωσιολογίας.

Στο έργο αυτό συνομιλεί αρχικά ο Σωκράτης με το μαθηματικό Θεόδωρο τον Κυρηναίο, ο οποίος είχε επισκεφτεί
την Αθήνα όπου δίδασκε μαθηματικά στην ακαδημία του Πλάτωνα και στη συνέχεια, στο κυρίως μέρος, συνομιλεί
ο Σωκράτης με το νεαρό και ταλαντούχο στα μαθηματικά Θεαίτητο.

Το θέμα του διαλόγου; Τι είναι γνώση.

Στο διάλογο αυτό αναφέρεται και η λεγόμενη "Σπείρα του Θεαίτητου" η οποία διδάχτηκε από το Θεόδωρο
τον Κυρηναίο στην Ακαδημία και η οποία έφτανε μέχρι και την .

Κώστας Δόρτσιος

[Γιώργος Μήτσιος]

Καλησπέρα στους φίλους!

29-11 Κατασκευή NF.png (113.68 KiB) Προβλήθηκε 1353 φορές

Θεωρώ τα συνευθειακά με και το ημικύκλιο διαμέτρου .
Η κάθετη της στο τέμνει το ημικύκλιο στο .

Αρκεί πλέον να κατασκευάσουμε τρίγωνο όμοιο του με και .

Είναι οπότε και . Φιλικά, Γιώργος.

[george visvikis]

Καλησπέρα και από μένα!

Με αφορμή την απάντηση του Γιώργου.

Καν,Διαβ.ΙΙ.png (8.52 KiB) Προβλήθηκε 1339 φορές

Σε ευθύγραμμο τμήμα θεωρώ σημείο ώστε και γράφω το ημικύκλιο διαμέτρου

Στο υψώνω κάθετο στην που τέμνει το ημικύκλιο στο Το είναι το ζητούμενο τμήμα.

[Mihalis_Lambrou]

Κώστα, έχω μερικά ιστορικά σχόλια να κάνω στα

Ίσως με την κατασκευή αυτή είναι καλό να θυμηθούμε την λεγόμενη Σπείρα του Θεαίτητου.

Η σπείρα του Θεαίτητου αναφέρεται στο αξιόλογο βιβλίο του Πλάτωνα με τίτλο "Θεαίτητος" το οποίο θεωρείται
σήμερα ως το πρώτο βιβλίο Γνωσιολογίας.

Στην ξένη βιβλιογραφία μιλάνε για spiral of Theodorus, του Θεοδώρου, και όχι Θεαιτήτου που ήταν μαθητής του. Όπως και να είναι,
το εν λόγω σχήμα ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ στον ομώνυμο Πλατωνικό διάλογο. Πρόκειται για σχήμα και ονομασία που δόθηκαν κατά τα μέσα ή αργότερα του περασμένου αιώνα. Κάπου είχα σημειώσει την πρώτη εμφάνιση του σχήματος και της αντίστοιχης ονομασίας, αλλά τώρα δεν τα βρίσκω (*).

Όμως, κάτι σημαντικότερο: Προφανώς με τον όρο "σπείρα" μετέφρασες το "spiral". Όμως δεν είναι σωστή η απόδοση αλλά πρόκειται για επαναλαμβανόμενο σφάλμα. Για παράδειγμα ακόμα και στον τίτλο Διπλωματικής Eργασίας στο Μαθηματικό Αθηνών βλέπε εδώ υπάρχει εσφαλμένη απόδοση του όρου. Μέσα δε στην ίδια την διατριβή, αλλού είναι σωστός ο όρος και αλλού λάθος (βλέπε π.χ. σελίς 67 και εξής για επαναλαμβανόμενο λάθος).

Η σωστή απόδοση του spiral είναι έλιξ. Ο όρος έλιξ είναι αρχίος ελληνικός, και υπάρχει έργο του Αρχιμήδη, το Περί ελίκων, που μελετά την καμπύλη εις βάθος με πρώτης ποιότητας θεωρήματα. Στα αγγλικά, το Περί ελίκων του Αρχιμήδη μεταφράζεται ως On Spirals,

Υπάρχει και συνέχεια. Ο όρος σπείρα είναι και αυτός αρχαίος ελληνικός μαθηματικός όρος, αλλά σημαίνει κάτι άλλο. Τον συναντάμε στην Συναγωγή του Πάππου, όπου σημαίνει αυτό που οι ξένοι ονομάζουν torus (στα ελληνικά αποδίδεται και ως τόρος) που είναι το σχήμα της σαμπρέλας. Ο Πάππος βρίσκει τον όγκο της με χρήση θεωρημάτων τα οποία σήμερα ονομάζονται Θεωρήματα Πάππου ή Πάππου-Guldin (**).

Επίσης υπήρχε και το δυστυχώς χαμένο σήμερα έργο Σπειρικαί τομαί του Αρισταίου. Μελετούσε τα 8 είδη καμπυλών που προέρχονται από τομή σπείρας και επιπέδου. Κάτι ανάλογο με τις 3 καμπύλες -έλλειψη, παραβολή, υπερβολή- που προκύπτουν από τομή κώνου και επιπέδου.

Συνοψίζοντας: spiral = έλιξ, σπείρα = torus


(*) Τα ψαχτήρια Ανδρέας Πούλος, Γιάννης Θωμαϊδης και Γιώργος Μπαλόγλου ίσως μπορούν να μας βοηθήσουν.

(**) Κάποτε το είχα ψάξει το θέμα διαβάζοντας το έργο του Guldin, στα Λατινικά. Πείσθηκα ότι ο Guldin γνώριζε τα θεωρήματα από τον Πάππο που τότε πρωτοεμφανίστηκε στην Δύση, και κακώς ονομάζονται Θεωρήματα Πάππου-Guldin.

[KDORTSI]

Κώστα, έχω μερικά ιστορικά σχόλια να κάνω στα

Ίσως με την κατασκευή αυτή είναι καλό να θυμηθούμε την λεγόμενη Σπείρα του Θεαίτητου.

Η σπείρα του Θεαίτητου αναφέρεται στο αξιόλογο βιβλίο του Πλάτωνα με τίτλο "Θεαίτητος" το οποίο θεωρείται
σήμερα ως το πρώτο βιβλίο Γνωσιολογίας.

Στην ξένη βιβλιογραφία μιλάνε για spiral of Theodorus, του Θεοδώρου, και όχι Θεαιτήτου που ήταν μαθητής του. Όπως και να είναι,
το εν λόγω σχήμα ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ στον ομώνυμο Πλατωνικό διάλογο. Πρόκειται για σχήμα και ονομασία που δόθηκαν κατά τα μέσα ή αργότερα του περασμένου αιώνα. Κάπου είχα σημειώσει την πρώτη εμφάνιση του σχήματος και της αντίστοιχης ονομασίας, αλλά τώρα δεν τα βρίσκω (*).

Όμως, κάτι σημαντικότερο: Προφανώς με τον όρο "σπείρα" μετέφρασες το "spiral". Όμως δεν είναι σωστή η απόδοση αλλά πρόκειται για επαναλαμβανόμενο σφάλμα. Για παράδειγμα ακόμα και στον τίτλο Διπλωματικής Eργασίας στο Μαθηματικό Αθηνών βλέπε εδώ υπάρχει εσφαλμένη απόδοση του όρου. Μέσα δε στην ίδια την διατριβή, αλλού είναι σωστός ο όρος και αλλού λάθος (βλέπε π.χ. σελίς 67 και εξής για επαναλαμβανόμενο λάθος).

Η σωστή απόδοση του spiral είναι έλιξ. Ο όρος έλιξ είναι αρχίος ελληνικός, και υπάρχει έργο του Αρχιμήδη, το Περί ελίκων, που μελετά την ναμπύλη εις βάθος με πρώτης ποιότητας θεωρήματα. Στα αγγλικά, το Περί ελίκων του Αρχιμήδη μεταφράζεται ως On Spirals,

Υπάρχει και συνέχεια. Ο όρος σπείρα είναι και αυτός αρχαίος ελληνικός μαθηματικός όρος, αλλά σημαίνει κάτι άλλο.Τον συναντάμε στην Συναγωγή του Πάππου, όπου σημαίνει αυτό που οι ξένοι ονομάζουν torus (στα ελληνικά αποδίδεται και ως τόρος) που είναι το σχήμα της σαμπρέλας. Ο Πάππος βρίσκει τον όγκο της με χρήση θεωρημάτων τα οποία σήμερα ονομάζονται Θεωρήματα Πάππου ή Πάππου-Guldin (**).

Επίσης υπήρχε και το δυστυχώς χαμένο σήμερα έργο Σπειρικαί τομαί του Αρισταίου. Μελετούσε τα 8 είδη καμπυλών που προέρχονται από τομή σπείρας και επιπέδου. Κάτι ανάλογο με τις 3 καμπύλες -έλλειψη, παραβολή, υπερβολή- που προκύπτουν από τομή κώνου και επιπέδου.

Συνοψίζοντας: spiral = έλιξ, σπείρα = torus


(*) Τα ψαχτήρια Ανδρέας Πούλος, Γιάννης Θωμαϊδης και Γιώργος Μπαλόγλου ίσως μπορούν να μας βοηθήσουν.

(**) Κάποτε το είχα ψάξει το θέμα διαβάζοντας το έργο του Guldin, στα Λατινικά. Πείσθηκα ότι ο Guldin γνώριζε τα θεωρήματα από τον Πάππο που τότε πρωτοεμφανίστηκε στην Δύση, και κακώς ονομάζονται Θεωρήματα Πάππου-Guldin.

Μιχάλη καλησπέρα...

Ναι, ο σωστός όρος του σχήματος που εννοώ, στη βιβλιογραφία δεν αναφέρεται στον Θεαίτητο, αλλά
στον Θεόδωρο τον Κυρηναίο.
Εξάλλου τον όρο αυτό και μάλιστα ως "Σπείρα του Θεόδωρου του Κυρηναίου" τον χρησιμοποίησα στις αναφορές μου
στη "Στήλη των Μαθηματικών"(τόμος 3, 2008, σελ. 177 και τόμος 4, 2009, σελ. 1, εκδόσεις Ζ.Τ. 2019).

Ο όρος "Σπείρα του Θεαίτητου" ήταν μια γραφική μου παραδρομή(Φροϋδικός όρος...), συγνώμη.

Σε ότι αφορά τώρα στις λέξεις σπείρα ή έλικα νομίζω ότι και οι δυο είναι συνώνυμες, δηλαδή έχουν το ίδιο
νοηματικό περιεχόμενο.

Πράγματι στο λεξικό των H.G.Liddell - R.Scott αναφέρεται:

σπείρα (Λατ. spira) =1. πράγμα ελικοειδώς συνεστραμμένον ή περιτυλιγμένον, σύστρεμμα, 2. σχοινί, 3. σώμα ενόπλων ανδρών.

έλιξ(ελίσσω)= κάθε τι που έχει σχήμα ελικοειδές (κοχλίας)

Ακόμα τις λέξεις αυτές τις συναντάμε σε πολλά έργα της αρχαίας ελληνικής γραμματείας, από τον Όμηρο, Ησιοδο, Σοφοκλή,
Αριστοφάνη, Ευριπίδη κ. ά.

Τέλος για το γεωμετρικό σχήμα που λέγεται σήμερα τόρος από το ίδιο λεξικό μαθαίνουμε ότι είναι
εργαλείο φρεωρυχικόν, δηλαδή εργαλείο που τρυπάει το χώμα για να διαπιστωθεί ή ύπαρξη νερού
και προκύπτει από το ρήμα τείρω που έχει δυο σημασίες 1. τρίβω και 2. τρυπώ.

Πέρα αυτών που έχουν μια γραμματολογική σημασία ο τόρος είναι ένα όμορφο και ενδιαφέρον
γεωμετρικό σχήμα του χώρου που χρησιμοποιήθηκε από τον Αρχύτα τον Ταραντίνο στην προσπάθεια
να λύσει το Δήλιο πρόβλημα.(Σχετική εργασία παρουσίασα στο 23ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΜΕ
στην Πάτρα το 2006 με τίτλο: "Το Δήλιο πρόβλημα, η λύση του Αρχύτα και τα λογισμικά Sketchpad,
Cabri3D και 3DGrapher").

Κώστας Δόρτσιος

[Mihalis_Lambrou]

Πάρα πολύ ενδιαφέρουσες οι παραπομπές του Κώστα. Ευχαριστώ. Θα επανέλθω.

Για την ώρα, έβγαλα κάποια άκρη με το

Πρόκειται για σχήμα και ονομασία που δόθηκαν κατά τα μέσα ή αργότερα του περασμένου αιώνα. Κάπου είχα σημειώσει την πρώτη εμφάνιση του σχήματος και της αντίστοιχης ονομασίας, αλλά τώρα δεν τα βρίσκω (*).

....

(*) Τα ψαχτήρια Ανδρέας Πούλος, Γιάννης Θωμαϊδης και Γιώργος Μπαλόγλου ίσως μπορούν να μας βοηθήσουν.

Δεν βρήκα το ίδιο το πρωτότυπο αλλά ξέρω πιο είναι από παραπομπές άλλων σε αυτό. Ακριβέστερα, ο πρώτος που διετύπωσε την θεωρία για την σπείρα/έλικα του Θεόδωρου είναι ο

J.H. Anderhub, στο Aus den Papieren eines reisenden Kaufmannes (1941) (= Από τις σημειώσεις ενός ταξιδιώτη εμπόρου.)

Παραπέμπουν σε αυτό διάφοροι, π.χ.

Szabo, Απαρχαί των Ελληνικών Μαθηματικών. Το πρωτότυπο είναι στα Γερμανικά, Anfänge der griechischen Mathematik το 1969 αλλά έχει μεταφραστεί σε όλες τις Δυτικές γλώσσες, συμπεριλαμβανομένων και των Ελληνικών (Τεχνικό Επιμελητήριο 1973). Ο τίτλος του Αγγλικού είναι The Beginnings of Greek Mathematics.

επίσης

Knorr, The Evolution of the Euclidean Elements (1973)

και επίσης στο όμορφο βιβλίο του Davis, Spirals from Theodorus to chaos (1992) (Μου είχε δώσει αντίτυπο ο ίδιος ως ευχαριστήριο όταν έκανα την επιμέλεια της ελληνικής μετάφρασης του απίθανου βιβλίου του με τον Hersch, Η Μαθηματική εμπειρία, εξαντλημένο σήμερα αλλά το αγγλικό πρωτότυπο Mathametical Experience, κυκλοφορεί, και μάλιστα σε πολλές γλώσσες).

Και τα τρία είναι διαμάντια που τα συνιστώ για Χριστουγεννιάτικο διάβασμα. Το Google βοηθός.

Το βιβλίο του Anderhub δεν είναι δυσσεύρετο, αλλά προσιτό μόνο για τους Γερμανόφωνους. Το είχα κοιτάξει χρόόόνια πριν και είχα φωτοτυπήσει τις σχετικές σελίδες, με προφορική μετάφραση της συζύγου μου που συχνά την αγγαρεύω για τέτοια θέματα, αλλά δεν το βρίσκω. Το θυμήθηκα με αφορή την εδώ συζήτηση.