Τρεις ίσες χορδές

#1

: Ίσες χορδές και διπλάσια γωνία.png (13.9 KiB) Προβλήθηκε 893 φορές

Τρεις ίσες χορδές AB, CD, EF

ενός κύκλου κέντρου

τέμνονται ανά δύο στα σημεία

M, N, P

όπως φαίνεται στο σχήμα. Να δείξετε ότι $\displaystyle A\widehat PC = 2M\widehat ON.$

Ένα 24ωρο μόνο για μαθητές.

Manolis Petrakis · #2

Καλησπέρα!
$\angle MFA=\angle BFA-\angle EFB \stackrel{AB=EF}{=} \angle EAF-\angle EAB=\angle MAF$
$\Rightarrow MFA:$ ισοσκελές
Έτσι, αφού τα M,O

είναι σημεία της μεσοκαθέτου της

είναι: $2\angle OMN=\angle AMN (1)$
Ομοίως: $2\angle ONM=\angle MND (2)$
Λόγω των $(1),(2)\Rightarrow 2\angle MON=360^{\circ}-2\angle OMN-2\angle ONM$
$=(180^{\circ}-\angle AMN)+(180^{\circ}-\angle DNM)=\angle PMN+\angle PNM=\angle APC$

#3

Αφού ευχαριστήσω τον Μανώλη για τη λύση του, δίνω μία άλλη προσέγγιση.

: Ίσες χορδές και διπλάσια γωνία.png (13.9 KiB) Προβλήθηκε 801 φορές

Επειδή οι χορδές είναι ίσες, το

είναι το

παράκεντρο του τριγώνου PMN.

Άρα:

$\displaystyle M\widehat ON = 90^\circ - \frac{{M\widehat PN}}{2} = 90^\circ - \frac{{180^\circ - A\widehat PC}}{2} = \frac{{A\widehat PC}}{2}$

Τρεις ίσες χορδές

Τρεις ίσες χορδές

Re: Τρεις ίσες χορδές

Re: Τρεις ίσες χορδές

Μέλη σε σύνδεση