Συνθήκη

mick7 · #1

Να βρεθεί η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε η εξίσωση παρακάτω να έχει λύση ως προς χ (πραγματικός). Tα

και

είναι θετικοί πραγματικοί Να γραφτεί η λύση δεδομένου ότι η συνθήκη ικανοποιείται.

$\displaystye \sqrt{x+a}-\sqrt{x}=b$

(Με επαρκή αιτιολόγηση)

mick7 · #2

Ανοιχτή σε όλους

#3

mick7 έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 19, 2021 5:27 pm
Να βρεθεί η ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε η εξίσωση παρακάτω να έχει λύση ως προς χ (πραγματικός). Tα και είναι θετικοί πραγματικοί Να γραφτεί η λύση δεδομένου ότι η συνθήκη ικανοποιείται.

$\displaystye \sqrt{x+a}-\sqrt{x}=b$

(Με επαρκή αιτιολόγηση)

Πεδίο ορισμού $x\ge 0$ . Πολλαπλασιάζοντας επί τον συζυγή είναι ισοδύναμα $\displaystyle{\dfrac {a}{\sqrt {x+a}+\sqrt x} = b \,(*)}$ . Αλλά η $\displaystyle{\sqrt {x+a}+\sqrt x}$ είναι γνήσια αύξουσα (άμεσο) και συνεχής, άρα έχει σύνολο τιμών $[\sqrt a ,\infty)$ , οπότε η $\displaystyle{\displaystyle{ \dfrac {a}{\sqrt {x+a}+\sqrt x} }$ έχει σύνολο τιμών το $\displaystyle{ \left ( 0, \sqrt a \right ]}$ . Συνεπώς ικανή και αναγκαία συνθήκη να έχει λύση η εξίσωση (και μάλιστα είναι τότε μοναδική) είναι $\displaystyle{b \le \sqrt a }$ , ισοδύναμα $b^2\le a$ .

Τώρα, η (*)

γράφεται $\displaystyle{ \sqrt {x+a}+\sqrt x = \dfrac {a}{b}$ . Αφαιρώντας την αρχική είναι $2\sqrt x = \dfrac {a}{b}-b$ , από όπου $\displaystyle{x= \dfrac {(a-b^2)^2}{4b^2}}$

mick7 · #4

Σωστά μόνο που νομίζω χρειάζεται και επαλήθευση.

#5

mick7 έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 28, 2021 9:39 pm
Σωστά μόνο που νομίζω χρειάζεται και επαλήθευση.

Σωστά. Συμπληρώνω: Από την $\displaystyle{x= \dfrac {(a-b^2)^2}{4b^2}}$ έχουμε $\displaystyle{x+a= \dfrac {a^2-2ab^2 + b^4}{4b^2}+ a = \dfrac {a^2+2ab^2 + b^4}{4b^2} = \dfrac {(a+b^2)^2}{4b^2}}}$

Άρα, και με χρήση της συνθήκης $b^2\le a$ , έχουμε

$\displaystyle{\sqrt {x+a} - \sqrt x = \dfrac {a+b^2}{2b}} - \dfrac {a-b^2}{2b}} = b}$

Συνθήκη

Συνθήκη

Re: Συνθήκη

Re: Συνθήκη

Re: Συνθήκη

Re: Συνθήκη

Μέλη σε σύνδεση